Circles — parts and theorems · Círculos — partes y teoremas
| English | Español |
|---|---|
| radius/ˈreɪdɪəs/ | radio |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | diámetro |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | circunferencia |
| chord/kɔːd/ | cuerda |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| arc/ɑːk/ | arc |
| sector/ˈsektə/ | sectorial |
| segment/ˈseɡmənt/ | segmento |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | cuadrilátero cíclico |
The wheel that changed the world
- The circle is the most perfect shape in nature — every point on its edge is the same distance from the centre.
- Ancient mathematicians discovered remarkable properties hidden in this simple shape.
La rueda que cambió el mundo
- El círculo es la figura más perfecta de la naturaleza — todos los puntos en su borde están a la misma distancia del centro.
- Los matemáticos antiguos descubrieron propiedades notables ocultas en esta forma simple.
The parts of a circle
- Radius 半径: centre to edge. Diameter 直径: right across ($= 2r$). Circumference 圆周: the distance round.
- Chord 弦: a line joining two points on the circle. Tangent 切线: touches at exactly one point.
- Arc 弧: part of the circumference. Sector 扇形: a slice between two radii. Segment 弓形: the region cut off by a chord.
A diameter is a special chord — the longest possible one, passing through the centre.
Las partes de un círculo
- Radio: desde el centro hasta el borde. Diámetro: a través del centro ($= 2r$). Circunferencia: la distancia alrededor.
- Cuerda: una línea que une dos puntos en la circunferencia. Tangente: toca en exactamente un punto.
- Arco: parte de la circunferencia. Sector: una porción entre dos radios. Segmento: la región recortada por una cuerda.
Un diámetro es una cuerda especial — la más larga posible, que pasa por el centro.
Arc and sector · Arco y sector
Drag the angle and radius to see the arc (part of the circumference) and the sector (pie slice) it cuts off. · Arrastra el ángulo y el radio para ver el arco (parte de la circunferencia) y el sector (rebanada de pastel) que corta.
Match each circle part to its meaning. · Une cada parte del círculo con su significado.
A chord joins two points; a tangent touches once; a sector is a slice between radii. · Una cuerda une dos puntos; una tangente toca una vez; un sector es una rebanada entre radios.
Circle theorems (Core)
- The angle in a semicircle is $90^{\circ}$ (an angle standing on a diameter).
- The angle between a tangent and a radius is $90^{\circ}$.
The main parts of a circle; a chord joins two points, a tangent touches at just one
Teoremas del círculo (Nivel Básico)
- El ángulo inscrito en un semicírculo es $90^{\circ}$ (ángulo subtendido por un diámetro).
- El ángulo entre una tangente y un radio es $90^{\circ}$.
Las partes principales de un círculo; una cuerda une dos puntos, una tangente toca en solo uno
The angle in a semicircle is how many degrees? · ¿Cuántos grados tiene el ángulo inscrito en un semicírculo?
An angle standing on a diameter is always 90°. · Un ángulo que se apoya sobre un diámetro mide siempre 90°.
A tangent to a circle meets the radius at 90°. · Una tangente a un círculo forma un ángulo de 90° con el radio.
The tangent is always perpendicular to the radius at the point of contact. · La tangente es siempre perpendicular al radio en el punto de contacto.
Circle theorems (Extended)
- The angle at the centre is twice the angle at the circumference (same arc).
- Angles in the same segment are equal.
- Opposite angles of a cyclic quadrilateral 圆内接四边形 add up to $180^{\circ}$.
The angle at the centre is always twice the angle at the circumference for the same arc.
Same arc only. The "angle at centre = 2 × angle at circumference" rule only works when both angles subtend the same arc. Different arcs don't follow this rule.
Teoremas del círculo (Nivel Avanzado)
- El ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia (mismo arco).
- Los ángulos en el mismo segmento son iguales.
- Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman $180^{\circ}$.
El ángulo en el centro es siempre el doble del ángulo en la circunferencia para el mismo arco.
Solo para el mismo arco. La regla "ángulo en el centro = 2 × ángulo en la circunferencia" solo funciona cuando ambos ángulos subtienen el mismo arco. Diferentes arcos no siguen esta regla.
The angle at the circumference is 40°. The angle at the centre on the same arc is how many degrees? · El ángulo en la circunferencia es de 40°. ¿Cuántos grados mide el ángulo central sobre el mismo arco?
Angle at centre = 2 × angle at circumference = 2 × 40 = 80°. · Ángulo central = 2 × ángulo en la circunferencia = 2 × 40 = 80°.
In a cyclic quadrilateral one angle is 85°. Its opposite angle is how many degrees? · En un cuadrilátero cíclico, un ángulo mide 85°. ¿Cuántos grados mide su ángulo opuesto?
Opposite angles add to 180°: 180 − 85 = 95°. · Los ángulos opuestos suman 180°: 180 − 85 = 95°.
Angles in the same segment are ______. · Los ángulos en el mismo segmento son ______.
Any two angles subtended by the same arc in the same segment are equal. · Cualquier par de ángulos subtendidos por el mismo arco en el mismo segmento son iguales.
Worked example
- Angle at circumference $= 40^{\circ}$ → angle at centre $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- In a cyclic quadrilateral, one angle $= 85^{\circ}$ → opposite angle $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
A sector is a slice between two radii; a segment is cut off by a chord; an arc is part of the circumference
Ejemplo resuelto
- Ángulo en la circunferencia $= 40^{\circ}$ → ángulo en el centro $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- En un cuadrilátero cíclico, un ángulo $= 85^{\circ}$ → ángulo opuesto $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
Un sector es una porción entre dos radios; un segmento está recortado por una cuerda; un arco es parte de la circunferencia
The missing Extended circle facts
- Alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord equals the angle at the circumference in the opposite segment. If that tangent-chord angle is $52^{\circ}$, the matching circumference angle is $52^{\circ}$.
- The perpendicular bisector of a chord passes through the centre; equal chords are equally far from it. Tangents PA and PB from the same outside point P have equal lengths, so $PA=7$ cm implies $PB=7$ cm.
Hechos faltantes del contenido ampliado sobre círculos
- Teorema del segmento alterno: el ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo en la circunferencia en el segmento opuesto. Si ese ángulo tangente-cuerda es $52^{\circ}$, el ángulo correspondiente en la circunferencia es $52^{\circ}$.
- La mediatriz de una cuerda pasa por el centro; las cuerdas iguales están equidistantes de él. Las tangentes PA y PB desde un mismo punto exterior P tienen longitudes iguales, por lo que $PA=7$ cm implica $PB=7$ cm.
A tangent-chord angle is 52°. Find the angle in the alternate segment in degrees. · Un ángulo entre tangente y cuerda es 52°. Encontrar el ángulo en el segmento alterno en grados.
The alternate segment theorem makes these two angles equal. · El teorema del segmento alterno hace que estos dos ángulos sean iguales.
PA and PB are tangents from the same external point P. PA is 7 cm. Find PB in cm. · PA y PB son tangentes desde el mismo punto exterior P. PA mide 7 cm. Encuentra PB en cm.
Tangents from the same external point have equal lengths. · Las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior tienen longitudes iguales.
You've got it
- angle in a semicircle $= 90^{\circ}$; tangent meets radius at $90^{\circ}$
- angle at centre $= 2 \times$ angle at circumference (same arc)
- cyclic quadrilateral: opposite angles add to $180^{\circ}$
Lo has entendido
- ángulo en un semicírculo $= 90^{\circ}$; la tangente se encuentra con el radio a $90^{\circ}$
- ángulo en el centro $= 2 \times$ ángulo en la circunferencia (mismo arco)
- cuadrilátero cíclico: los ángulos opuestos suman $180^{\circ}$