Differentiation · Diferenciación
| English | Español |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | cálculo |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | derivar |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | punto estacionario |
The gradient that changes
- A straight line has one gradient everywhere. A curve has a different gradient at every point.
- Newton and Leibniz invented calculus 微积分 to answer: "What is the gradient of a curve right here?" The answer is the derivative 导数.
El gradiente que cambia
- Una línea recta tiene un mismo gradiente en todos sus puntos. Una curva tiene un gradiente diferente en cada punto.
- Newton y Leibniz inventaron el cálculo para responder: "¿Cuál es la pendiente de una curva justo aquí?" La respuesta es la derivada.
The power rule
- If $y = ax^n$, then $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- In words: bring the power down in front, then reduce it by one.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Differentiate 求导 term by term — each term is treated independently.
The gradient of a curve at a point is the gradient of the tangent there, which is what differentiation finds
La regla de potencia
- Si $y = ax^n$, entonces $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- En palabras: bajar el exponente al frente, luego restarle uno.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Derive término por término — cada término se trata de forma independiente.
El gradiente de una curva en un punto es el gradiente de la tangente allí, que es lo que encuentra la derivación
The gradient at a point · La pendiente en un punto
gradient = dy/dx · pendiente = dy/dx
Slide the point — the tangent · tangente's slope is the gradient there. · Desliza el punto — la pendiente de la tangente es la derivada en ese lugar.
If y = x³ + 2x² − 5x, then dy/dx = 3x² + 4x − 5. What is its value at x = 1? · Si y = x³ + 2x² − 5x, entonces dy/dx = 3x² + 4x − 5. ¿Cuál es su valor cuando x = 1?
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
For y = axⁿ, where n is a positive integer, differentiating gives: · Para y = axⁿ, donde n es un entero positivo, la derivada da como resultado:
Bring the power down and reduce it by 1: a·n·xⁿ⁻¹. · Bajar el exponente y reducirlo en 1: a·n·xⁿ⁻¹.
If y = 4x³, what is dy/dx at x = 2? · Si y = 4x³, ¿cuál es dy/dx cuando x = 2?
dy/dx = 12x². At x = 2: 12(4) = 48. · dy/dx = 12x². Cuando x = 2: 12(4) = 48.
The derivative of y = x⁵ is dy/dx = ______. · La derivada de y = x⁵ es dy/dx = ______.
Power rule: bring down the 5, reduce the power: 5x⁴. · Regla de la potencia: bajar el 5 y reducir el exponente: 5x⁴.
Special cases
- $y = c$ (a constant) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (a horizontal line has zero gradient).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (a straight line has constant gradient).
- The IGCSE power rule here uses nonnegative integer powers and sums of at most three terms; differentiating reciprocal functions is outside this syllabus.
Don't forget the constant term. The derivative of $x^2 + 7$ is $2x$, not $2x + 7$. The derivative of a constant is always zero.
Casos especiales
- $y = c$ (una constante) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (una línea horizontal tiene gradiente cero).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (una línea recta tiene gradiente constante).
- La regla de la potencia del IGCSE aquí usa potencias enteras no negativas y sumas de hasta tres términos; derivar funciones recíprocas está fuera de este programa de estudios.
No olvides el término constante. La derivada de $x^2 + 7$ es $2x$, no $2x + 7$. La derivada de una constante es siempre cero.
The derivative of y = x² + 7 is 2x + 7. · La derivada de y = x² + 7 es 2x + 7.
The derivative of a constant is 0. So dy/dx = 2x, not 2x + 7. · La derivada de una constante es 0. Por lo tanto, dy/dx = 2x, no 2x + 7.
Stationary points 驻点
- A stationary point is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — the curve is momentarily flat.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- At $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Turning point: $(3, -4)$.
A stationary point is where the curve is momentarily flat — the gradient (derivative) equals zero.
Puntos estacionarios
- Un punto estacionario es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — la curva es momentáneamente plana.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- En $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Punto de giro: $(3, -4)$.
Un punto estacionario es donde la curva está momentáneamente plana — el gradiente (derivada) es igual a cero.
The curve y = x² − 6x + 5 has a turning point. At what x value (dy/dx = 0)? · La curva y = x² − 6x + 5 tiene un punto de inflexión. ¿En qué valor de x (dy/dx = 0)?
dy/dx = 2x − 6 = 0 gives x = 3. · dy/dx = 2x − 6 = 0 da como resultado x = 3.
Why differentiation matters
- Physics: velocity is the derivative of position; acceleration is the derivative of velocity.
- Economics: marginal cost is the derivative of total cost — the cost of one more unit.
- Optimisation: to maximise profit or minimise cost, set the derivative to zero.
Por qué importa la derivación
- Física: la velocidad es la derivada de la posición; la aceleración es la derivada de la velocidad.
- Economía: el costo marginal es la derivada del costo total — el costo de una unidad adicional.
- Optimización: para maximizar beneficios o minimizar costos, igualar la derivada a cero.
A tangent estimates a curve gradient
- Draw a tangent touching the curve at the required point, then choose two clear points on the tangent, not two arbitrary points on the curve. Calculate its rise divided by run.
- For $y=x^2$ at $(2,4)$, a tangent through $(1,0)$ and $(3,8)$ has $m=(8-0)/(3-1)=4$. Differentiation confirms $dy/dx=2x=4$ at $x=2$.
Una tangente estima la pendiente de una curva
- Dibuje una tangente que toque la curva en el punto requerido, luego seleccione dos puntos claros sobre la tangente, no dos puntos arbitrarios sobre la curva. Calcule su elevación dividida por su avance.
- Para $y=x^2$ en $(2,4)$, una tangente que pasa por $(1,0)$ y $(3,8)$ tiene $m=(8-0)/(3-1)=4$. La diferenciación confirma $dy/dx=2x=4$ en $x=2$.
A tangent passes through (1,0) and (3,8). Find its gradient. · Una recta tangente pasa por (1,0) y (3,8). Encontrar su pendiente.
Rise 8 divided by run 2 gives 4. · Ascenso 8 dividido por recorrido 2 da como resultado 4.
Minimum or maximum?
- For $y=x^2-6x+5$, the derivative is $2x-6$. It is negative at $x=2$, zero at 3 and positive at 4: falling then rising means a minimum at $(3,-4)$.
- For $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Positive at 1 and negative at 3 means a maximum at $x=2$, where $y=5$.
¿Mínimo o máximo?
- Para $y=x^2-6x+5$, la derivada es $2x-6$. Es negativa en $x=2$, cero en 3 y positiva en 4: descender luego ascender significa un mínimo en $(3,-4)$.
- Para $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Ser positivo en 1 y negativo en 3 significa un máximo en $x=2$, donde $y=5$.
For y = −x² + 4x + 1, find the y-coordinate of its maximum. · Para y = −x² + 4x + 1, encontrar la coordenada y de su máximo.
dy/dx = −2x + 4 is zero at x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5. · dy/dx = −2x + 4 es cero en x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5.
You've got it
- power rule: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- differentiate a sum term by term; the derivative of a constant is zero
- a stationary point is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$
Lo has entendido
- regla de la potencia: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- derivar una suma término por término; la derivada de una constante es cero
- un punto estacionario es donde $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$