Indices in algebra · Índices en álgebra
| English | Español |
|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | índices |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coeficiente |
| index equations/ˈɪndeks ɪˈkweɪʒnz/ | ecuaciones exponenciales |
The tower of powers
- How many times can you double a grain of rice before it fills a room? About 40 doublings — that's $2^{40} \approx 10^{12}$ grains.
- Index laws let you tame these enormous numbers, working with the powers instead of computing the values.
La torre de potencias
- ¿Cuántas veces puedes duplicar un grano de arroz antes de que llene una habitación? Aproximadamente 40 duplicaciones, lo que equivale a $2^{40} \approx 10^{12}$ granos.
- Las leyes de los exponentes te permiten manejar estos números enormes, trabajando con las potencias en lugar de calcular sus valores.
Algebraic index law lab · Laboratorio de ley de índices algebraica
Classify index-law examples by the rule being used. · Clasificar ejemplos de leyes de índices según la regla que se utiliza.
The three core rules
- Multiply same-base powers → add indices 指数: $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$.
- Divide same-base powers → subtract indices: $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$.
- Power of a power → multiply indices: $\;(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6$. Apply the power to every factor — the coefficient 系数 and the letter.
Las tres reglas fundamentales
- Multiplicar potencias de la misma base → sumar exponentes: $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$.
- Dividir potencias de la misma base → restar exponentes: $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$.
- Potencia de una potencia → multiplicar exponentes: $\;(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6$. Aplica la potencia a cada factor — el coeficiente y la variable.
(5x³)² = k·x⁶. What is the coefficient k? · (5x³)² = k·x⁶. ¿Cuál es el coeficiente k?
(5x³)² = 5² × (x³)² = 25x⁶, so k = 25. · (5x³)² = 5² × (x³)² = 25x⁶, por lo tanto k = 25.
a³ × a⁴ = a⁷.
Same base: add indices. a³ × a⁴ = a^(3+4) = a⁷. · Misma base: sumar los índices. a³ × a⁴ = a^(3+4) = a⁷.
Complete the rule: (a^m)^n = a^(). · Completa la regla: (a^m)^n = a^().
Power of a power: multiply the indices. (a^m)^n = a^(mn). · Potencia de una potencia: multiplicar los índices. (a^m)^n = a^(mn).
Working with coefficients
- Separate the number part from the letter part, simplify each, then recombine.
- $12a^5 \div 3a^{-2}$: numbers $12 \div 3 = 4$; letters $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$. Answer: $4a^7$.
- $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.
Subtracting a negative. $a^5 \div a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{5+2} = a^7$. Subtracting a negative is adding.
Trabajando con coeficientes
- Separa la parte numérica de la parte variable, simplifica cada una por separado y luego vuelve a combinarlas.
- $12a^5 \div 3a^{-2}$: números $12 \div 3 = 4$; variables $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$. Respuesta: $4a^7$.
- $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.
Restar un negativo. $a^5 \div a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{5+2} = a^7$. Restar un número negativo es equivalente a sumar.
Simplify 12a⁵ ÷ 3a⁻². · Simplifica 12a⁵ ÷ 3a⁻².
12/3 = 4 and a⁵ ÷ a⁻² = a^(5−(−2)) = a⁷, so 4a⁷. · 12/3 = 4 y a⁵ ÷ a⁻² = a^(5−(−2)) = a⁷, por lo tanto 4a⁷.
Index equations 指数方程
- Write both sides with the same base, then equate the powers.
- Solve $2^x = 32$: since $32 = 2^5$, we get $x = 5$.
- Solve $3^{2x} = 81$: since $81 = 3^4$, $2x = 4$, so $x = 2$.
Ecuaciones exponenciales
- Escribe ambos lados con la misma base y luego iguala los exponentes.
- Resuelve $2^x = 32$: como $32 = 2^5$, obtenemos $x = 5$.
- Resuelve $3^{2x} = 81$: como $81 = 3^4$, entonces $2x = 4$, por lo tanto $x = 2$.
Solve 2^x = 32. · Resuelve 2^x = 32.
32 = 2⁵, so x = 5. · 32 = 2⁵, por lo tanto x = 5.
Solve 3^(2x) = 81. · Resuelve 3^(2x) = 81.
81 = 3⁴, so 2x = 4, giving x = 2. · 81 = 3⁴, por lo tanto 2x = 4, dando como resultado x = 2.
Where index laws appear
- Scientific notation relies on $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$.
- Compound interest uses $(1+r)^n$ — a power of a real-world multiplier.
- Computer science: memory sizes are powers of 2 (KB $= 2^{10}$, MB $= 2^{20}$, GB $= 2^{30}$).
Powers and roots are inverses: the area of a square is $s^2$, and its side is $\sqrt{\text{area}}$.
Dónde aparecen las leyes de los exponentes
- La notación científica se basa en $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$.
- El interés compuesto utiliza $(1+r)^n$ — una potencia de un multiplicador del mundo real.
- Ciencia computacional: los tamaños de memoria son potencias de 2 (KB $= 2^{10}$, MB $= 2^{20}$, GB $= 2^{30}$).
Las potencias y las raíces son inversas: el área de un cuadrado es $s^2$, y su lado es $\sqrt{\text{area}}$.
You've got it
- multiply → add indices; divide → subtract; power of a power → multiply
- handle coefficients and letters separately, then recombine
- solve index equations by writing both sides with the same base
- $(5x^3)^2 = 25x^6$; $\;12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^7$; $\;2^x = 32 \Rightarrow x = 5$
Lo has logrado
- multiplicar → sumar exponentes; dividir → restar; potencia de una potencia → multiplicar
- maneja los coeficientes y las variables por separado, luego combínalos
- resuelve ecuaciones exponenciales escribiendo ambos lados con la misma base
- $(5x^3)^2 = 25x^6$; $\;12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^7$; $\;2^x = 32 \Rightarrow x = 5$