Powers, roots and indices · Potencias, raíces e índices
| English | Español |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | potencia |
| index/ˈɪndeks/ | índice |
| base/beɪs/ | base |
| square root/skweə ruːt/ | raíz cuadrada |
| cube root/kjuːb ruːt/ | raíz cúbica |
| laws of indices/lɔːz ɒv ˈɪndɪsiːz/ | leyes de los exponentes |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
The chessboard grain problem
- A king offered a reward for the invention of chess. The inventor asked for 1 grain of rice on the first square, 2 on the second, 4 on the third, doubling each time.
- By the 64th square: $2^{63}$ grains — more rice than has ever existed on Earth.
- That's the power 幂 of indices — repeated multiplication grows astonishingly fast.
El problema del grano en el tablero de ajedrez
- Un rey ofreció una recompensa por la invención del ajedrez. El inventor pidió 1 grano de arroz en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, duplicando cada vez.
- En la casilla 64: $2^{63}$ granos — más arroz del que ha existido nunca en la Tierra.
- Ese es el poder de los índices — la multiplicación repetida crece asombrosamente rápido.
Powers and roots lab · Laboratorio de potencias y raíces
square = x^2 · cuadrado = x^2
Change the base and see powers grow while roots undo powers. · Cambia la base y observa cómo crecen las potencias mientras que las raíces deshacen las potencias.
Powers
- A power (or index 指数) shows repeated multiplication: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- The base 底数 is the number being multiplied ($2$); the index (or exponent) tells you how many times ($5$).
- Know your squares up to $15^2 = 225$ and cubes up to $5^3 = 125$.
Potencias
- Una potencia (o índice) muestra multiplicación repetida: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- La base es el número que se multiplica ($2$); el índice (o exponente) indica cuántas veces ($5$).
- Conoce tus cuadrados hasta $15^2 = 225$ y cubos hasta $5^3 = 125$.
Roots
- A square root 平方根 reverses squaring: $\sqrt{169} = 13$ (because $13^2 = 169$).
- A cube root 立方根 reverses cubing: $\sqrt[3]{8} = 2$ (because $2^3 = 8$).
- Roots and powers are inverse operations.
The diagonal of a square is the square root of twice the side squared — geometry gives us roots.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. Evaluate the power and root first, then multiply.
Raíces
- Una raíz cuadrada invierte elevar al cuadrado: $\sqrt{169} = 13$ (porque $13^2 = 169$).
- Una raíz cúbica invierte elevar al cubo: $\sqrt[3]{8} = 2$ (porque $2^3 = 8$).
- Las raíces y las potencias son operaciones inversas.
La diagonal de un cuadrado es la raíz cuadrada del doble del lado al cuadrado — la geometría nos da las raíces.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. Evalúa primero la potencia y la raíz, luego multiplica.
Work out 5² × ∛8. · Calcula 5² × ∛8.
5² = 25 and ∛8 = 2, so 25 × 2 = 50. · 5² = 25 y ∛8 = 2, por lo tanto 25 × 2 = 50.
The laws of indices 指数定律
- These three rules let you simplify any power expression:
Same base only. You can only add/subtract indices when the bases match. $2^3 \times 3^2$ does not simplify to $6^5$ — the bases are different.
Las leyes de los índices
- Estas tres reglas te permiten simplificar cualquier expresión con potencias:
Solo bases iguales. Solo puedes sumar o restar índices cuando las bases coincidan. $2^3 \times 3^2$ no se simplifica a $6^5$ — las bases son diferentes.
Using the index laws, what is 2³ × 2⁴ as a single number? · Usando las leyes de los índices, ¿cuál es 2³ × 2⁴ como un solo número?
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
Zero, negative and fractional powers
- $a^0 = 1$ for any non-zero $a$ (even $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — a negative index means a reciprocal 倒数 ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- Extended: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — fractional powers are roots ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
Potencias cero, negativas y fraccionarias
- $a^0 = 1$ para cualquier $a$ distinto de cero (incluso $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — un índice negativo significa un recíproco ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- Extensión: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — las potencias fraccionarias son raíces ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
Evaluate 81^(1/2). · Evalúa 81^(1/2).
81^(1/2) = √81 = 9.
What does 3⁻² equal? · ¿A qué equivale 3⁻²?
3⁻² = 1/3² = 1/9. A negative index means reciprocal, not negative. · 3⁻² = 1/3² = 1/9. Un índice negativo significa recíproco, no negativo.
For any non-zero number a, a⁰ = 1. · Para cualquier número distinto de cero a, a⁰ = 1.
The zero-index rule gives a⁰ = 1 for all a ≠ 0. · La regla del índice cero da a⁰ = 1 para todo a ≠ 0.
Complete: 4⁻¹ = ______. · Completa: 4⁻¹ = ______.
4⁻¹ = 1/4 = 0.25. A power of −1 gives the reciprocal. · 4⁻¹ = 1/4 = 0.25. Una potencia de −1 da el recíproco.
You've got it
- multiply same-base powers → add indices; divide → subtract; power of a power → multiply
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$
Lo has entendido
- Multiplicar potencias de base igual → suma índices; dividir → resta; potencia de una potencia → multiplica
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$