Choosing the right ratio · Elegir la razón correcta
| English | Español |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | ley de senos |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | ley de cosenos |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitario |
| periodic/ˌpɪərɪˈɒdɪk/ | periódicos |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianes |
| bearing/ˈbeərɪŋ/ | rumbo |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | ángulo de elevación |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | ángulo de depresión |
Match an angle to its sides
- Right-triangle ratios relate a chosen acute angle to opposite, adjacent and hypotenuse lengths. Opposite and adjacent change when the chosen angle changes.
- Sine is opposite over hypotenuse, cosine adjacent over hypotenuse, and tangent opposite over adjacent. Identify the known and requested lengths before choosing a ratio.
Emparejar un ángulo con sus lados
- Las razones de triángulo rectángulo relacionan un ángulo agudo elegido con longitudes opuestas, adyacentes e hipotenusa. Opuesto y adyacente cambian cuando cambia el ángulo elegido.
- Seno es opuesto sobre hipotenusa, coseno adyacente sobre hipotenusa, y tangente opuesto sobre adyacente. Identifique las longitudes conocidas y solicitadas antes de elegir una razón.
Select the equation before calculating
- Draw and label the right triangle. The longest side opposite the right angle is the hypotenuse.
- With opposite and adjacent, use $\tan\theta=o/a$. Rearrange for the unknown; use inverse tangent if the angle is unknown, and check the angle mode.
Seleccione la ecuación antes de calcular
- Dibuje y etiquete el triángulo rectángulo. El lado más largo opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
- Con opuesto y adyacente, use $\tan\theta=o/a$. Reorganice para la incógnita; use tangente inversa si el ángulo es desconocido, y verifique el modo del ángulo.
Watch the ratios as the angle changes · Observa las razones mientras cambia el ángulo
See why tangent grows without limit while sine and cosine never leave [−1, 1]. · Ver por qué la tangente crece sin límite mientras que el seno y el coseno nunca salen de [−1, 1].
You know the adjacent side and want the opposite side. Which ratio do you use? · Conoces el cateto adyacente y quieres el cateto opuesto. ¿Qué razón usas?
Tangent is opposite over adjacent — the only ratio that involves neither hypotenuse. · La tangente es opuesto sobre adyacente: la única razón que no involucra la hipotenusa.
Extend the method beyond right triangles
- The sine rule 正弦定理 pairs sides with opposite angles: $a/\sin A=b/\sin B$. The cosine rule 余弦定理 uses $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, where C is the included angle.
- The unit circle 单位圆 extends sine and cosine beyond acute angles. They are periodic 周期的, repeating every 360 degrees or $2\pi$ radians; tangent has a different period and undefined values.
Extender el método más allá de triángulos rectángulos
- La ley de senos empareja lados con ángulos opuestos: $a/\sin A=b/\sin B$. La ley de cosenos usa $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, donde C es el ángulo incluido.
- El círculo unitario extiende el seno y coseno más allá de ángulos agudos. Son periódicos, repitiéndose cada 360 grados o $2\pi$ radianes; la tangente tiene un periodo diferente y valores indefinidos.
From 40 m away, the angle of elevation of a tower top is 32°. Find the height in metres, to 1 decimal place. · A 40 m de distancia, el ángulo de elevación hacia la cima de una torre es de 32°. Encuentra la altura en metros, con 1 decimal.
h = 40 tan 32° = 25.0 m. Make sure the calculator is in degree mode. · h = 40 tan 32° = 25.0 m. Asegúrate de que la calculadora esté en modo grados.
Put a trigonometry solution in the order that earns the method marks. · Coloca una solución trigonométrica en el orden que obtiene los puntos de método.
The ratio line is the marked step. A number with no ratio line above it earns nothing if it is wrong. · La línea de razón es el paso marcado. Un número sin una línea de razón encima no obtiene nada si está equivocado.
Keep the reference direction explicit
- A bearing 方位角 is clockwise from north and uses three digits in degrees. An angle of elevation 仰角 is upward from the horizontal, and an angle of depression 俯角 downward.
- Radians 弧度 measure angles with $180^\circ=\pi$ radians. Convert units or set the calculator correctly before substituting.
Mantener la dirección de referencia explícita
- Un rumbo se mide en sentido horario desde el norte y usa tres dígitos en grados. Un ángulo de elevación es hacia arriba desde la horizontal, y un ángulo de depresión hacia abajo.
- Los radianes miden ángulos con $180^\circ=\pi$ radianes. Convierta unidades o configure correctamente la calculadora antes de sustituir.
You know two sides of a triangle and the angle between them. Which rule finds the third side? · Conoces dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos. ¿Qué regla encuentra el tercer lado?
Two sides and the included angle is exactly what a² = b² + c² − 2bc cos A needs. Pythagoras needs a right angle. · Dos lados y el ángulo comprendido son exactamente lo que necesita a² = b² + c² − 2bc cos A. Pitágoras necesita un ángulo recto.
Two observations share one height. A tower seen at 35 degrees, then 50 degrees after moving 10 m closer, gives $h=d\tan35^\circ=(d-10)\tan50^\circ$. The resulting initial distance is about 24.245 m. Add an instrument height only when converting h to tower height above ground.
Dos observaciones comparten una misma altura. Una torre vista a 35 grados, luego a 50 grados tras acercarse 10 m, da $h=d\tan35^\circ=(d-10)\tan50^\circ$. La distancia inicial resultante es aproximadamente 24.245 m. Añada la altura del instrumento solo al convertir h a la altura de la torre sobre el suelo.
Write a bearing of seventy-five degrees in the correct three-figure form. · Escribe una dirección de seventy-five degrees en su forma correcta de tres cifras.
Bearings always take three figures, so a leading zero is required. · Las direcciones siempre usan tres cifras, por lo que se requiere un cero inicial.
How many degrees is π radians? · ¿Cuántos grados son π radianes?
Half a full turn. A full turn is 2π radians, or 360°. · Media vuelta completa. Una vuelta completa son 2π radianes, o 360°.
Explain which data select the rule. Two sides and their included angle fit the cosine rule. A known side-angle opposite pair supports the sine rule. Sheet 1.5 combines triangle lengths, bearings and two observations.
Explique qué datos seleccionan la regla. Dos lados y su ángulo incluido se ajustan a la ley de cosenos. Un par conocido de lado-ángulo opuesto apoya la ley de senos. La hoja 1.5 combina longitudes de triángulos, rumbos y dos observaciones.
With side-side-angle data, inverse sine may produce an acute angle while its supplement gives another valid triangle. Check the remaining angle sum before discarding that possibility. Do not assume a right angle that the question does not state.
Con datos lado-lado-ángulo, el seno inverso puede producir un ángulo agudo mientras que su suplemento da otro triángulo válido. Verifique la suma de ángulos restantes antes de descartar esa posibilidad. No asuma un ángulo recto que la pregunta no indique.