Exponentials and logarithms · Exponenciales y logaritmos
| English | Español |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | función exponencial |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | exponente |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | logaritmos naturales |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | interés compuesto |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimiento exponencial |
Repeated multiplication creates a model
- An exponential function 指数函数 such as $y=a^x$ has the variable in the exponent 指数, with $a>0$ and $a\ne1$.
- Its values grow for $a>1$ and decay for $0
La multiplicación repetida crea un modelo
- Una función exponencial como $y=a^x$ tiene la variable en el exponente, con $a>0$ y $a\ne1$.
- Sus valores crecen para $a>1$ y decaen para $0
Exponential growth against a straight line · Crecimiento exponencial frente a una línea recta
$y = a^x$
A constant factor always overtakes a constant amount, however steep the line. · Un factor constante siempre supera a una cantidad constante, sin importar la pendiente de la línea.
Use a logarithm as an inverse
- $\log_a y=x$ means $a^x=y$. Real logarithms need a positive argument and a positive base different from 1.
- Natural logarithms 自然对数 use base e. The graph $y=\ln x$ passes through $(1,0)$ and has vertical asymptote $x=0$; exponential graphs have y-intercept 1 and horizontal asymptote $y=0$.
Usar un logaritmo como inverso
- $\log_a y=x$ significa $a^x=y$. Los logaritmos reales necesitan un argumento positivo y una base positiva distinta de 1.
- Los logaritmos naturales usan base e. La gráfica $y=\ln x$ pasa por $(1,0)$ y tiene asíntota vertical $x=0$; las gráficas exponenciales tienen ordenada al origen 1 y asíntota horizontal $y=0$.
What is log₁₀ 1000? · ¿Cuál es log₁₀ 1000?
It asks what power of 10 gives 1000, and 10³ = 1000. · Pregunta por qué potencia de 10 se obtiene 1000, y 10³ = 1000.
Apply laws only within their domain
- For positive m and n with the same valid base, $\log(mn)=\log m+\log n$ and $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- The power law $\log(m^k)=k\log m$ brings an exponent into a product. There is no corresponding law splitting the logarithm of a sum.
Aplicar leyes solo dentro de su dominio
- Para m y n positivos con la misma base válida, $\log(mn)=\log m+\log n$ y $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- La ley de potencias $\log(m^k)=k\log m$ introduce un exponente en un producto. No existe una ley correspondiente que divida el logaritmo de una suma.
Which law lets you solve for an unknown that sits in an exponent? · ¿Qué ley permite resolver para un desconocido que está en un exponente?
The power law brings k down to the front, where it can be divided out. The fourth option is not a law at all. · La ley de potencias baja el k al frente, donde puede ser cancelado. La cuarta opción no es una ley en absoluto.
log(m + n) equals log m + log n. · log(m + n) es igual a log m + log n.
The addition law applies to a product inside the logarithm, never to a sum. · La ley de suma aplica a un producto dentro del logaritmo, nunca a una suma.
State the time and financial assumptions
- Compound interest 复利 uses $A=P(1+r)^n$ for a stated rate per period and no other cash flows. The rate r is a fraction, not the percentage numeral.
- Exponential decay 指数衰减 uses a factor between 0 and 1. A continuous-time threshold can differ from the first qualifying whole-period sample; real processes need evidence before adopting a model.
Enunciar las suposiciones temporales y financieras
- El interés compuesto usa $A=P(1+r)^n$ para una tasa nominal por periodo y sin otros flujos de efectivo. La tasa r es una fracción, no el numeral del porcentaje.
- El decaimiento exponencial usa un factor entre 0 y 1. Un umbral de tiempo continuo puede diferir de la primera muestra entera cualificada; los procesos reales necesitan evidencia antes de adoptar un modelo.
5000 grows at 4% a year. After how many WHOLE years does it first exceed 7000? · 5000 crece al 4% anual. ¿Después de cuántos AÑOS COMPLETOS supera por primera vez los 7000?
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, and years are whole, so the answer is 9. · n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, y los años son enteros, así que la respuesta es 9.
Which base gives exponential decay? · ¿Qué base produce decaimiento exponencial?
A base between 0 and 1 shrinks the value at every step. A base of 1 never changes it. · Una base entre 0 y 1 reduce el valor en cada paso. Una base de 1 nunca lo cambia.
In one English sentence, say when you would use a logarithm to solve an equation. · En una oración en inglés, diga cuándo usaría un logaritmo para resolver una ecuación.
Example: "I take logarithms when the unknown is in the exponent, because the power law brings it down." · Ejemplo: "Tomo logaritmos cuando la incógnita está en el exponente, porque la ley de potencias la baja."
A whole-year threshold. With $A(n)=500(1.04)^n$, the condition $A(n)>600$ gives $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. The first whole year is 5. Check years 4 and 5 to verify the strict inequality.
Umbral anual completo. Con $A(n)=500(1.04)^n$, la condición $A(n)>600$ da $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. El primer año completo es 5. Verificar los años 4 y 5 para confirmar la desigualdad estricta.
Check equation and sketch domains separately. In $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, the equation needs $x>1$ and has solution 6. The separate basic graph $y=\ln x$ is defined for $x>0$. Sheet 1.6 practises both equations and graph features.
Verificar ecuación y trazar dominios por separado. En $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, la ecuación necesita $x>1$ y tiene solución 6. La gráfica básica separada $y=\ln x$ está definida para $x>0$. Hoja 1.6 practica tanto ecuaciones como características de gráficas.
A positive exponential decay model stays above zero at every finite time. A physical quantity measured as zero may reflect detection limits or failure of the model, rather than an exact zero predicted by the formula.
Un modelo positivo de decaimiento exponencial se mantiene por encima de cero en todo tiempo finito. Una cantidad física medida como cero puede reflejar límites de detección o falla del modelo, más que un cero exacto predicho por la fórmula.