GAC004 Matemáticas I: Fundamentos

GAC004 reconstruye las matemáticas escolares en inglés para que puedas estudiar una materia universitaria que lo requiere. Las propias matemáticas son familiares. Las palabras, los símbolos y la forma de escribir una solución son la parte nueva, y valen puntos.

El módulo se divide en seis unidades y se evalúa en tu centro docente mediante varios eventos separados, no en un único examen final. Un conjunto típico incluye una prueba corta en clase 课堂测验 sobre las primeras unidades, uno o dos proyectos 项目 realizados en una hoja de cálculo, un examen 考试 que cubre las seis unidades y trabajo académico 平时作业 que incluye un cuaderno de terminología. Tu centro publica los pesos exactos; el punto clave de esta lista es que los puntos se acumulan a lo largo del semestre.

• El cuaderno de terminología 术语记录本 es un componente real. Anotas cada nueva palabra matemática con un significado en tus propias palabras, y se revisa durante el semestre.
• Existen puntos por método. Una respuesta correcta sin desarrollo puede obtener menos puntos que una respuesta incorrecta pero con un método claro y correcto, así que escribe los pasos.
• Lee la palabra de mando 指令词 en la pregunta. Solve (resolver) pide un valor, simplify (simplificar) pide una expresión más corta, analyse (analizar) pide un comentario sobre lo que significa la respuesta.

El vocabulario numérico se da por sentado en todas las unidades posteriores.

Un entero 整数 es un número entero, positivo o negativo. Un número racional 有理数 se puede escribir como una fracción de dos enteros; un número irracional 无理数 no, y $\pi$ y $\sqrt{2}$ son los ejemplos estándar. Un número primo 质数 tiene exactamente dos factores: él mismo y 1.

La orden de operaciones 运算顺序 establece el significado de una expresión escrita: paréntesis, luego exponentes, luego multiplicación y división, luego suma y resta, trabajando de izquierda a derecha dentro de cada nivel.

• Un factor 因数 divide un número exactamente; un múltiplo 倍数 es lo que obtienes al multiplicarlo. 6 es un factor de 24, y 24 es un múltiplo de 6.
• El mayor común divisor (MCD) 最大公因数 y el mínimo común múltiplo (MCM) 最小公倍数 provienen de los factores primos: $24 = 2^3 \times 3$ y $36 = 2^2 \times 3^2$, por lo tanto el MCD es $2^2 \times 3 = 12$ y el MCM es $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Un porcentaje 百分比 es una fracción con denominador 100. Un aumento del 15% multiplica por $1.15$; una disminución del 15% multiplica por $0.85$. Invertir un cambio porcentual implica dividir, nunca restar el mismo porcentaje nuevamente.
• Las cifras significativas 有效数字 indican la precisión con la que se conoce un valor. $0.004\,072$ a tres cifras significativas es $0.004\,07$.
• La notación científica 科学记数法 escribe un número como $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$. Es la forma en que una calculadora muestra respuestas muy grandes o muy pequeñas.

Ejemplo resuelto. Una tienda sube el precio de 240 yuanes en un 15%, luego reduce el nuevo precio en un 15%. ¿Es el precio final 240 yuanes?

No. Los dos porcentajes actúan sobre cantidades diferentes, por lo que el precio final es 234.60 yuanes. Este es el error porcentual más común en el módulo.

El álgebra es aritmética con letras que representan números, y tiene su propio vocabulario.

En $5x^2 - 3x + 7$, todo el conjunto es una expresión 表达式; $5x^2$, $-3x$ y $7$ son sus términos 项; 5 es el coeficiente 系数 de $x^2$; y 7 es una constante 常数.

Una ecuación 方程 indica que dos expresiones son iguales y se resuelve buscando un valor. Una identidad 恒等式 es verdadera para cualquier valor. Una desigualdad 不等式 compara dos expresiones con $<$, $\le$, $>$ o $\ge$.

Expandir 展开 significa eliminar paréntesis; factorizar 因式分解 significa volver a ponerlos.

• Resolver una ecuación lineal 一元一次方程 significa realizar la misma operación en ambos lados hasta que la letra quede sola.
• Una ecuación cuadrática 一元二次方程 tiene un término $x^2$. Intenta factorizar primero; si no funciona, usa la fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Las ecuaciones simultáneas 联立方gen son dos ecuaciones con dos incógnitas, resueltas por sustitución o por eliminación. La solución es el punto donde se cruzan las dos rectas.
• ⚠ Una desigualdad se invierte 反向 cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo: de $-2x > 6$ se deduce que $x < -3$.

Ejemplo resuelto. Resuelve $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Un producto es cero solo cuando un factor es cero, por lo tanto $x = 5$ o $x = -3$. Sustituir ambos valores en la ecuación original es la forma de verificar, y toma diez segundos.

Una gráfica convierte una ecuación en una imagen, y la geometría analítica mide esa imagen.

Una recta se representa como $y = mx + c$, donde $m$ es la pendiente 斜率 y $c$ la intersección con el eje y y 轴截距. La pendiente es la elevación dividida entre el recorrido horizontal.

• Dos rectas son paralelas 平行 cuando sus pendientes son iguales, y perpendiculares 垂直 cuando el producto de sus pendientes es $-1$.
• El punto medio 中点 de un segmento es el promedio de sus extremos, y la distancia 距离 entre dos puntos proviene de Pitágoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Una cuadrática se grafica como una parábola 抛物线. Su vértice 顶点 es el punto de giro, y las raíces 根 son donde cruza el eje $x$, que corresponden a las soluciones de $y = 0$.
• Para resolver dos ecuaciones gráficamente 用图像求解, dibuja ambas y lee las coordenadas de la intersección. La respuesta es tan precisa como el dibujo, por lo que una verificación algebraica es importante.

Ejemplo resuelto. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por $(2, 1)$ y $(6, 9)$.

Sustituir $(2, 1)$ en $y = 2x + c$ da $1 = 4 + c$, por lo que $c = -3$ y la recta es $y = 2x - 3$. Verificar el segundo punto: $2(6) - 3 = 9$ ✓.

La geometría plana trata sobre figuras bidimensionales, la geometría sólida sobre las tridimensionales, y la geometría euclidiana es el razonamiento que las conecta.

Los ángulos en una línea recta suman $180°$, los ángulos alrededor de un punto suman $360°$ y los ángulos interiores de cualquier triángulo suman $180°$. En un polígono 多边形 de $n$ lados, los ángulos interiores suman $(n - 2) \times 180°$.

• Las figuras congruentes 全等 son idénticas en tamaño y forma; las figuras similares 相似 tienen la misma forma con todas las longitudes en una misma proporción.
• El teorema de Pitágoras 勾股定理 se cumple en un triángulo rectángulo: $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es la hipotenusa 斜边.
• El área 面积 se mide en unidades cuadradas y el volumen 体积 en unidades cúbicas. Un cilindro tiene volumen $\pi r^2 h$; una esfera tiene volumen $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ y área superficial $4\pi r^2$.
• ⚠ La escala no es lineal. Si cada longitud de un sólido se duplica, su área se multiplica por $2^2 = 4$ y su volumen por $2^3 = 8$.

Ejemplo resuelto. Un tanque cilíndrico tiene radio 1.2 m y altura 3.0 m. ¿Qué volumen contiene, en litros?

Un metro cúbico equivale a 1000 litros, por lo que el tanque contiene aproximadamente 13,570 litros. Llevar la unidad a través del cálculo hace que la conversión final sea evidente.

La trigonometría conecta los ángulos de un triángulo con sus lados.

En un triángulo rectángulo, con $\theta$ uno de los ángulos agudos, las tres razones son $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ y $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Para cualquier triángulo, se aplican la ley de los senos 正弦定理 y la ley de los cosenos 余弦定理:

• Un ángulo puede medirse en grados 度 o en radianes 弧度, donde $\pi$ radianes es $180°$. Verifica el modo en que se encuentra tu calculadora antes de cada pregunta.
• El círculo unitario 单位圆 extiende las razones más allá de $90°$ y explica por qué $\sin$ y $\cos$ se repiten cada $360°$: son periódicas 周期的.
• Una rumbo 方位角 se mide en sentido horario desde el norte y siempre se escribe con tres cifras, como $075°$.
• Los ángulos de elevación y depresión 仰角与俯角 se miden desde la horizontal, hacia arriba y hacia abajo respectivamente.

Ejemplo resuelto. Desde un punto a 40 m de la base de una torre, el ángulo de elevación de la cima es $32°$. ¿Cuál es la altura de la torre?

Están involucrados el lado opuesto y el lado adyacente, lo cual selecciona la razón tangente. Elegir la razón es el paso marcado, no la aritmética.

Estas dos funciones descricen el crecimiento y el decaimiento, y se anulan entre sí.

Una función exponencial 指数函数 es $y = a^x$: la variable está en el exponente 指数. Crece por un factor constante por paso, por eso eventualmente supera a cualquier línea recta.

Un logaritmo 对数 responde a la pregunta inversa. $\log_a y = x$ significa exactamente $a^x = y$, así que $\log_{10} 1000 = 3$.

• Las leyes convierten la multiplicación en suma, lo cual es lo que hace útil a un logaritmo para resolver una ecuación con la incógnita en el exponente.
• Los logaritmos naturales 自然对数 usan la base $e \approx 2.718$ y se escriben $\ln$.
• El interés compuesto 复利 es exponencial: $A = P(1 + r)^n$ después de $n$ períodos.
• La decaimiento exponencial 指数衰减 tiene una base entre 0 y 1, y modela el enfriamiento, la salida de medicamentos de la sangre y materiales radiactivos.

Ejemplo resuelto. Se invierten 5000 yuanes al 4% anual, capitalizados anualmente. ¿Cuántos años completos se necesitan hasta que exceda los 7000 yuanes?

Por lo tanto, se necesitan 9 años completos. Aplicar logaritmos a ambos lados es el paso que saca $n$ del exponente, y es la técnica que esta unidad existe para enseñar.