GAC016 Matemáticas III: Cálculo y aplicaciones avanzadas

GAC016 es cálculo, y es el módulo GAC por el que las universidades otorgan créditos con mayor frecuencia. Varias publican una equivalencia de cálculo de primer año contra él, lo que significa que el estándar esperado aquí es un estándar universitario, no uno escolar.

Solo tres unidades — diferenciación 微分, integración 积分, y aplicaciones — por lo que cada una se aborda con más profundidad que una unidad de Nivel I. La evaluación sigue el patrón habitual: un examen parcial, un examen final sobre las tres unidades y trabajos continuos.

• ⚠ La notación está marcada. $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ y $\dot{y}$ significan lo mismo, pero una pregunta que usa una espera que la devuelvas.
• Cada respuesta aplicada necesita sus unidades y su interpretación. "$-3$" no es una respuesta; "el volumen está disminuyendo a 3 cm³ por segundo" sí lo es.

Una derivada 导数 es una tasa de cambio: qué tan rápido $y$ cambia a medida que $x$ cambia. Geométricamente es la pendiente de la tangente 切线斜率 en un punto.

Ese límite es la definición, y la diferenciación desde primeros principios 从定义求导 es examinable aunque luego usarás las reglas.

• La regla de la potencia 幂法则: si $y = x^n$ entonces $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• La regla del producto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
• La regla del cociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• La regla de la cadena 链式法则: si $y = f(g(x))$ entonces $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Los puntos estacionarios 驻点 ocurren donde $f'(x) = 0$. La segunda derivada 二阶导or then los clasifica: negativo es un máximo 极大值, positivo un mínimo 极小值.

Ejemplo resuelto. Encuentre y clasifique los puntos estacionarios de $y = x^3 - 3x$.

En $x = 1$ la segunda derivada es $6 > 0$, por lo que es un mínimo en $(1, -2)$. En $x = -1$ es $-6 < 0$, por lo tanto un máximo en $(-1, 2)$. La clasificación con la segunda derivada es el paso destacado; decir "uno es un máximo" sin ello no obtiene nada.

La integración es la diferenciación hecha hacia atrás, y también el área bajo una curva. Esos dos hechos son el mismo hecho, que es lo que dice el teorema fundamental del cálculo 微积分基本定理.

• Una integral indefinida 不定积分 no tiene límites y necesita la constante de integración 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ para $n \neq -1$.
• Una integral definida 定积分 tiene límites y da un número: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• La integración por sustitución 换元积分法 revierte la regla de la cadena.
• ⚠ Olvidar $+c$ en una integral indefinida es la pérdida de marcas más frecuente en el módulo, y se pierde en preguntas que de otro modo se han respondido correctamente.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área entre $y = x^2$ y el eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 3$.

Los corchetes con límites son parte del método, no una decoración. Una respuesta de 9 sin la línea de corchetes no muestra cómo se obtuvo.

• Optimización encuentra el valor máximo o mínimo de una cantidad: escriba la cantidad como función de una variable, diferénciele, iguale a cero y clasifique.
• Tasas de cambio encadenadas: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Área entre dos curvas es $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ donde $f$ es la curva superior.
• Costo marginal e ingreso marginal son derivadas, por eso los departamentos de economía otorgan crédito a este módulo.

Ejemplo resuelto. Un cilindro debe contener 500 cm³. ¿Qué radio minimiza el metal utilizado?

El área superficial $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, y la restricción de volumen da $h = \dfrac{500}{\pi r^2}$.

Así $r^3 = \dfrac{250}{\pi}$ y $r = 4.30$ cm. La restricción es lo que convierte dos variables en una, y escribir esa línea de sustitución es donde se concentran la mayoría de los puntos del método.