Expected Counts in Two-Way Tables · Conteos Esperados en Tablas de Dos Vías
Expected counts in a table
- For a two-way table, each cell has its own expected count under the null of "no relationship."
- The formula:
-
$$\text{expected} = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$$
- Compute it separately for every cell.
Conteos esperados en una tabla
- Para una tabla de dos vías, cada celda tiene su propio conteo esperado bajo la hipótesis nula de "sin relación".
- La fórmula:
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$$\text{expected} = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$$
- Cálculolo por separado para cada celda.
Why that formula?
- Under the null, the two variables are unrelated — the column split is the same in every row.
- So a cell's expected count = (that row's total) $\times$ (that column's overall fraction).
- That column fraction is $\dfrac{\text{column total}}{\text{grand total}}$.
- Multiply out and you get the row$\times$column$\div$grand-total formula.
¿Por qué esa fórmula?
- Bajo la hipótesis nula, las dos variables son independientes — la proporción por columna es la misma en cada fila.
- Por lo tanto, el conteo esperado de una celda = (el total de esa fila) $\times$ (la fracción general de esa columna).
- Esa fracción de columna es $\dfrac{\text{column total}}{\text{grand total}}$.
- Al multiplicar se obtiene la fórmula de fila$\times$columna$\div$total general.
Check every cell
- The large counts condition applies to every cell's expected count $\ge 5$.
- Not the observed counts, and not just some cells — all of them.
- One small expected cell can invalidate the whole test.
- Compute the full table of expected counts and scan it.
Verificar cada celda
- La condición de contos grandes aplica al conteo esperado de cada celda $\ge 5$.
- No a los conteos observados, ni solo a algunas celdas — todas ellas.
- Un solo conteo esperado pequeño puede invalidar toda la prueba.
- Calcula la tabla completa de conteos esperados y revisala.
Degrees of freedom
- For a two-way table, $df = (\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
- A $2 \times 3$ table → $df = (2-1)(3-1) = 2$.
- It counts the "free" cells once the margins are fixed.
- It depends on the table's shape, not the sample size.
Grados de libertad
- Para una tabla de dos vías, $df = (\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
- Una tabla $2 \times 3$ → $df = (2-1)(3-1) = 2$.
- Cuenta las celdas "libres" una vez que los márgenes están fijos.
- Depende de la forma de la tabla, no del tamaño de la muestra.
Expected counts in a two-way table · Conteos esperados en una tabla de dos vías
Compute the count you would expect in a cell if the two variables were independent. · Calcular el conteo que se esperaría en una celda si las dos variables fueran independientes.
Two-way $df$ is $(\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$, a product — not (cells $-1$). A $2\times2$ table has $df=1$, not $3$. And the expected-count formula uses row total $\times$ column total $\div$ grand total for each cell; mixing up which totals go on top is the usual error. Check every expected count $\ge 5$.
La tabla de dos $df$ es $(\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$, un producto — no (celdas $-1$). Una tabla $2\times2$ tiene $df=1$, no $3$. Y la fórmula de conteo esperado usa total de fila $\times$ total de columna $\div$ total general para cada celda; confundir cuáles totales van arriba es el error más común. Verifica todos los conteos esperados $\ge 5$.
A $2\times2$ table: row totals $60, 40$; column totals $50, 50$; grand total $100$.
- Expected for the top-left cell: $\dfrac{60 \times 50}{100} = 30$.
- Repeat for all four cells: $30, 30, 20, 20$ — all $\ge 5$ ✓.
- $df$: $(2-1)(2-1) = 1$.
Una tabla $2\times2$: totales de fila $60, 40$; totales de columna $50, 50$; total general $100$.
- Esperado para la celda superior izquierda: $\dfrac{60 \times 50}{100} = 30$.
- Repite para las cuatro celdas: $30, 30, 20, 20$ — todos $\ge 5$ ✓.
- $df$: $(2-1)(2-1) = 1$.
In a two-way table, each cell's expected count $= \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$ (from the null of no relationship). Check that every expected count is $\ge 5$. The degrees of freedom are $(\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
En una tabla de dos vías, el conteo esperado de cada celda $= \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$ (de la hipótesis nula de sin relación). Verifica que todos los conteos esperados sean $\ge 5$. Los grados de libertad son $(\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
Row total 60, column total 50, grand total 100. Find the expected count (row·col/grand). · Total de filas 60, total de columnas 50, total general 100. Encuentre el conteo esperado (fila·columna/total).
60 × 50 / 100 = 30.
For a 2×3 two-way table, what are the degrees of freedom (r−1)(c−1)? · Para una tabla de dos vías 2×3, ¿cuáles son los grados de libertad (r−1)(c−1)?
(2−1)(3−1) = 1×2 = 2.
For a 2×2 two-way table, what are the degrees of freedom? · Para una tabla de dos vías 2×2, ¿cuáles son los grados de libertad?
(2−1)(2−1) = 1.
The large counts condition for a two-way table requires... · La condición de conteos grandes para una tabla de dos vías requiere...
All expected cells must be at least 5. · Todas las celdas esperadas deben ser al menos 5.
The degrees of freedom for a two-way table are the number of cells minus 1. · Los grados de libertad para una tabla de dos vías son el número de celdas menos 1.
It's (rows−1)(columns−1), a product. · Es (filas−1)(columnas−1), un producto.