Carrying Out a Goodness-of-Fit Test · Realización de una Prueba de Ajuste
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| chi-square statistic/kaɪ skweə stəˈtɪstɪk/ | estadística de chi-cuadrada |
La estadística chi-cuadrado
- La estadística chi-cuadrado 卡方统计量 suma las diferencias estandarizadas en todas las categorías:
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$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Cada término compara el número observado y el esperado de una categoría.
- Elevar al cuadrado hace que cada diferencia sea positiva; dividir por el valor esperado la escala.
Diferencias mayores, mayor chi-cuadrado
- Si los valores observados $\approx$ los esperados en todas partes, cada término es pequeño → $\chi^2$ es pequeño.
- Las grandes discrepancias hacen que los términos sean grandes → un $\chi^2$ grande.
- Por lo tanto, un $\chi^2$ grande es evidencia en contra de la distribución afirmada.
- $\chi^2$ es siempre $\ge 0$ (una suma de cuadrados sobre positivos).
Encontrar el valor p
- El valor p es el área a la derecha de $\chi^2$ bajo la curva chi-cuadrado en el extremo derecho $df$.
- La prueba chi-cuadrado es una prueba de cola derecha — solo los valores grandes son "extremos".
- Una gran $\chi^2$ se encuentra muy a la derecha → valor p pequeño → evidencia fuerte en contra de $H_0$.
- Usa tecnología o una tabla con $df = \text{categories} - 1$.
Decidir y concluir
- Compara el valor p con $\alpha$: p $\le \alpha$ → rechazar $H_0$; de lo contrario, no rechazar.
- Rechazar: evidencia convincente de que la distribución verdadera difiere de la afirmación.
- No rechazar: no hay evidencia convincente en contra del ajuste propuesto.
- Exprésalo en contexto — sobre el ajuste del modelo a los datos.
La prueba chi-cuadrada es siempre de cola derecha — nunca se duplica la cola. Solo los valores grandes de $\chi^2$ son sorprendentes, por lo que el valor p corresponde únicamente al área de la cola derecha (a diferencia de una prueba bidireccional $z$ o $t$). Además, se deben introducir conteos en la fórmula, no proporciones, y usar los valores esperados (no los observados) en cada denominador.
Prueba de chi-cuadrado: observados $8, 12, 9, 11, 10, 10$; esperados $10$ cada uno; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- valor-p: área de cola derecha más allá de $1.0$ en $df=5$ es grande ($\approx 0.96$).
- Decidir: $0.96 > 0.05$ → no rechazar; no hay evidencia de que el dado sea injusto.
La estadística de chi-cuadrado $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ mide el desajuste total. Su valor p es el área de la cola derecha en $df = \text{categories} - 1$. Compare con $\alpha$: rechace $H_0$ si p $\le \alpha$ (el modelo se ajusta mal), de lo contrario no rechace — expresado en contexto.
A right-skewed test distribution · Una distribución de prueba con sesgo a la derecha
Chi-square is right-tailed — only large values are extreme. · Chi-cuadrada es de cola derecha — solo los valores grandes son extremos.
One category has observed 8, expected 10. Compute (observed − expected)²/expected. · Una categoría tiene observadas 8, esperadas 10. Calcula (observado − esperado)²/esperado.
(8−10)²/10 = 4/10 = 0.4.
A chi-square test is... · Una prueba chi-cuadrada es...
Only large χ² is extreme → right tail only. · Solo χ² grande es extremo → solo cola derecha.
A large chi-square statistic is evidence against the claimed distribution. · Un estadístico chi-cuadrada grande es evidencia contra la distribución afirmada.
Big gaps → big χ² → evidence against H0. · Grandes diferencias → gran χ² → evidencia contra H0.
In the chi-square formula, each denominator is the ___ count. · En la fórmula chi-cuadrada, cada denominador es el recuento ___.
Divide the squared gap by the expected count. · Divide la diferencia al cuadrado entre el recuento esperado.
The chi-square statistic can be negative. · El estadístico chi-cuadrada puede ser negativo.
It's a sum of squares over positive expecteds — always ≥ 0. · Es una suma de cuadrados sobre esperados positivos — siempre ≥ 0.