The Normal Distribution, Revisited · La Distribución Normal, Revisitada
| English | Español |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribución normal |
| z-score/zed skɔː/ | Puntuación z |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | Normal estándar |
| statistical inference/stəˈtɪstɪkl ˈɪnfərəns/ | Inferencia estadística |
The bell curve returns
- Many sampling distributions are well modeled by the normal distribution 正态分布.
- It's the familiar symmetric bell, described by a mean and a standard deviation.
- When a statistic's sampling distribution is normal, we can compute probabilities for it.
- This is why the normal model is the workhorse of inference.
La curva de campana vuelve
- Muchas distribuciones muestrales se modelan bien mediante la distribución normal 正态分布.
- Es la conocida forma simétrica de campana, descrita por una media y una desviación estándar.
- Cuando la distribución muestral de un estadístico es normal, podemos calcular sus probabilidades.
- Por eso el modelo normal es el motor principal de la inferencia.
z-scores for a statistic
- A $z$-score 标准分数 says how many standard deviations a value sits from the mean:
-
$$z = \frac{\text{statistic} - \text{mean}}{\text{standard deviation}}$$
- For a sample statistic, the "standard deviation" is that of its sampling distribution.
- The $z$-score converts any normal value onto one common scale.
Puntuaciones z para un estadístico
- Una puntuación $z$ 标准分数 indica cuántas desviaciones estándar está un valor de la media:
-
$$z = \frac{\text{statistic} - \text{mean}}{\text{standard deviation}}$$
- Para un estadístico muestral, la "desviación estándar" es la de su distribución muestral.
- La puntuación $z$ convierte cualquier valor normal a una escala común.
The standard normal
- The standard normal 标准正态 distribution has mean $0$ and standard deviation $1$.
- Every $z$-score lives on it, so one table (or calculator) handles all normal problems.
- Probabilities: area under the curve left/right of a $z$.
- Critical values: the $z$ that cuts off a chosen tail area (e.g. $z^* = 1.96$ for the middle $95\%$).
La normal estándar
- La normal estándar 标准正态分布 tiene media $0$ y desviación estándar $1$.
- Toda puntuación $z$ vive en ella, por lo que una sola tabla (o calculadora) resuelve todos los problemas normales.
- Probabilidades: área bajo la curva a la izquierda/derecha de una $z$.
- Valores críticos: la $z$ que deja un área de cola elegida (ej. $z^* = 1.96$ para el centro $95\%$).
Why it matters for inference
- Inference asks: "how surprising is my sample, if a claim were true?"
- The normal model turns that into an area (a probability) under the bell.
- A statistic far out in the tail (large $|z|$) is surprising evidence.
- Every confidence interval and test in Units 6–9 runs on this machinery.
Por qué importa para la inferencia
- La inferencia pregunta: "¿qué tan sorprendente es mi muestra si una afirmación fuera cierta?".
- El modelo normal convierte esto en un área (una probabilidad) bajo la campana.
- Un estadístico muy alejado en la cola (gran $|z|$) es evidencia sorprendente.
- Todos los intervalos de confianza y pruebas de las Unidades 6–9 funcionan con esta maquinaria.
The $z$-score's denominator is the standard deviation of the sampling distribution, not the spread of one sample's raw data. Mixing these up is a classic slip. And remember the empirical rule benchmarks — about $68\%$ within $1$ SD, $95\%$ within $2$, $99.7\%$ within $3$ — for a quick sense of how extreme a $z$ is.
El denominador de la puntuación $z$ es la desviación estándar de la distribución muestral, no la dispersión de los datos crudos de una sola muestra. Confundirlos es un error clásico. Y recuerda las referencias de la regla empírica — aproximadamente $68\%$ dentro de $1$ DE, $95\%$ dentro de $2$, $99.7\%$ dentro de $3$ — para tener una idea rápida de qué tan extrema es una $z$.
A statistic is normal with mean $50$ and SD $4$. You observe a value of $58$.
- $z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$ — two standard deviations above the mean.
- By the empirical rule, only about $2.5\%$ of values exceed $z = 2$.
- So a value of $58$ is fairly surprising under this model.
Un estadístico es normal con media $50$ y DE $4$. Observas un valor de $58$.
- $z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$ — dos desviaciones estándar sobre la media.
- Por la regla empírica, solo alrededor de $2.5\%$ de los valores superan $z = 2$.
- Así que un valor de $58$ es bastante sorprendente bajo este modelo.
The normal distribution models many sampling distributions. A $z$-score $z = \frac{\text{stat} - \text{mean}}{\text{SD}}$ maps a value onto the standard normal (mean $0$, SD $1$), where probabilities are areas and critical values cut off tail areas. This normal machinery powers all statistical inference.
La distribución normal modela muchas distribuciones muestrales. Una puntuación $z$ $z = \frac{\text{stat} - \text{mean}}{\text{SD}}$ mapea un valor a la normal estándar (media $0$, DE $1$), donde las probabilidades son áreas y los valores críticos dejan áreas de cola. Esta maquinaria normal impulsa toda la inferencia estadística.
The standard normal, shaded by z · La normal estándar, sombreada por z
Areas under the curve give probabilities; z marks the cutoff. · Las áreas bajo la curva dan probabilidades; z marca el punto de corte.
A statistic is normal with mean 50 and SD 4. Find the z-score of the value 58. · Una estadística es normal con media 50 y desviación estándar 4. Encuentre el puntaje z del valor 58.
z = (58 − 50)/4 = 2.
The standard normal distribution has... · La distribución normal estándar tiene...
By definition, mean 0 and SD 1. · Por definición, media 0 y DE 1.
The critical value z* for the middle 95% of the standard normal is about... (two decimals) · El valor crítico z* para el 95% central de la normal estándar es aproximadamente... (dos decimales)
z* = 1.96 leaves 2.5% in each tail. · z* = 1.96 deja 2.5% en cada cola.
The z-score for a sample statistic uses the standard deviation of its sampling distribution. · El puntaje z para una estadística muestral usa la desviación estándar de su distribución muestral.
Not the spread of one sample's raw data — the sampling distribution's SD. · No la dispersión de los datos crudos de una sola muestra — la DE de la distribución muestral.
Under a normal model, a statistic with a large |z| is... · Bajo un modelo normal, una estadística con un |z| grande es...
Large |z| = far from center = surprising evidence. · Gran |z| = lejos del centro = evidencia sorprendente.