Conditional Probability · Probabilidad Condicional
| English | Español |
|---|---|
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | probabilidad condicional |
| multiplication rule/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ruːl/ | Regla de la multiplicación |
Probability, given a clue
- A conditional probability 条件概率 is the chance of $A$ given that $B$ has happened.
- Written $P(A \mid B)$ — "the probability of $A$ given $B$."
- Knowing $B$ occurred shrinks the world to just the $B$ outcomes.
- Then you ask what fraction of those are also $A$.
Probabilidad, dada una pista
- Una probabilidad condicional 条件概率 es la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ha ocurrido $B$.
- Se escribe como $P(A \mid B)$ — "la probabilidad de $A$ dado $B$".
- Saber que ocurrió $B$ reduce el universo de resultados a solo los casos donde ocurre $B$.
- Luego, se pregunta qué fracción de esos casos también corresponde a $A$.
The formula
-
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
- The numerator is "both happen"; the denominator is "the condition."
- You're rescaling: out of the $B$-world, how much is also $A$?
- The condition $B$ becomes the new "total."
La fórmula
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$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
- El numerador representa "ambos ocurren"; el denominador representa "la condición".
- Se trata de reescalar: del mundo de $B$, ¿cuánto también es $A$?
- La condición $B$ pasa a ser el nuevo "total" sobre el cual se calcula.
From a two-way table
- Two-way tables make conditionals easy: restrict to the condition's row or column.
- $P(A \mid B)$ = (cell for both) ÷ (total of $B$'s row/column).
- This is exactly the conditional relative frequency from Unit 2.
- The denominator is a margin, not the grand total.
De una tabla de doble entrada
- Las tablas de doble entrada facilitan el cálculo de probabilidades condicionales: basta con restringirse a la fila o columna correspondiente a la condición.
- $P(A \mid B)$ = (celda de intersección) ÷ (total de la fila/columna de $B$).
- Esto equivale exactamente a la frecuencia relativa condicional vista en la Unidad 2.
- El denominador es un marginal, no el total general.
The general multiplication rule
- Rearranging the formula gives the multiplication rule 乘法法则:
-
$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$
- "Both happen" = (first happens) × (second happens given the first).
- It's how you chain probabilities of events that depend on each other.
La regla general de multiplicación
- Al despejar la fórmula anterior, se obtiene la regla de multiplicación 乘法法则:
-
$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$
- "Ambos ocurren" = (ocurre primero) × (ocurre segundo dado que ocurrió el primero).
- Es la herramienta para encadenar probabilidades de eventos que dependen entre sí.
$P(A \mid B)$ and $P(B \mid A)$ are usually different — don't swap them. "Probability of a cough given the flu" is high; "probability of the flu given a cough" is low (most coughs aren't flu). The condition — what's given — sits after the bar and becomes the denominator. Read carefully which event is the condition.
$P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$ suelen ser diferentes — no se deben intercambiar. "La probabilidad de tos dado que hay gripe" es alta; "la probabilidad de gripe dada una tos" es baja (la mayoría de las toses no son gripe). La condición — lo que está dado — va después de la barra y constituye el denominador. Preste atención a cuál evento es la condición.
In a class, $P(\text{plays sport}) = 0.5$ and $P(\text{sport and music}) = 0.2$.
- $P(\text{music} \mid \text{sport}) = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$.
- Among the sporty half, $40\%$ also do music.
- Multiplication check: $P(\text{sport and music}) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$. ✓
En una clase, $P(\text{plays sport}) = 0.5$ y $P(\text{sport and music}) = 0.2$.
- $P(\text{music} \mid \text{sport}) = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$.
- Entre la mitad de estudiantes deportistas, el $40\%$ también practica música.
- Verificación por multiplicación: $P(\text{sport and music}) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$. ✓
A conditional probability $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ is the chance of $A$ given $B$ — restrict to $B$'s row/column in a two-way table. Rearranged, the multiplication rule $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$. Remember $P(A\mid B) \ne P(B \mid A)$ in general.
Una probabilidad condicional $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ es la probabilidad de $A$ dado $B$ — se restringe a la fila/columna de $B$ en una tabla de doble entrada. Despejada, la regla de multiplicación queda como $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$. Recuerde que, en general, $P(A\mid B) \ne P(B \mid A)$.
Conditional probabilities · Probabilidades condicionales
How the chance of B changes depending on whether A happened. · Cómo cambia la probabilidad de B dependiendo de si A ocurrió.
P(A and B) = 0.2 and P(B) = 0.5. Find P(A | B). · P(A y B) = 0.2 y P(B) = 0.5. Encuentra P(A | B).
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4.
In general, P(A | B) equals P(B | A). · En general, P(A | B) es igual a P(B | A).
They are usually different — the condition matters. · Usualmente son diferentes: la condición importa.
The general multiplication rule for P(A and B) is... · La regla de multiplicación general para P(A y B) es...
P(A∩B) = P(B)·P(A|B), chaining the two events. · P(A∩B) = P(B)·P(A|B), encadenando los dos eventos.
To read P(A | B) off a two-way table, you divide by the... · Para leer P(A | B) en una tabla de doble entrada, divides por el...
The condition B becomes the denominator — its margin total. · La condición B se convierte en el denominador: su total marginal.
P(A | B) is read 'the probability of A ___ B' (one word). · P(A | B) se lee 'la probabilidad de A ___ B' (una palabra).
The bar means 'given' the condition. · La barra significa 'dado' la condición.