The Inverse and Determinant of a Matrix · La Inversa y el Determinante de una Matriz
| English | Español |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | matriz inversa |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinante |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriz identidad |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | no invertible |
Undoing a matrix
- Multiplying by a matrix transforms space — but can you undo it?
- For ordinary numbers, dividing by $5$ undoes multiplying by $5$.
- Matrices have their own "reverse" — the inverse matrix.
- First we need one number that decides whether a reverse even exists: the determinant.
Deshacer una matriz
- Multiplicar por una matriz transforma el espacio, pero ¿puedes deshacerlo?
- Para números ordinarios, dividir entre $5$ deshace multiplicar por $5$.
- Las matrices tienen su propio "reverso": la matriz inversa.
- Primero necesitamos un número que decida si existe o no un reverso: el determinante.
The determinant
- The determinant 行列式 of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is the single number $ad - bc$.
- Geometrically, its size is the area of the parallelogram the columns span.
- A large determinant means the matrix stretches area a lot; a small one, very little.
- A determinant of zero means the columns line up — the parallelogram is flat.
El determinante
- El determinante 行列式 de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ es el único número $ad - bc$.
- Geométricamente, su magnitud es el área del paralelogramo que forman sus columnas.
- Un determinante grande significa que la matriz estira mucho el área; uno pequeño, muy poco.
- Un determinante de cero significa que las columnas están alineadas — el paralelogramo está plano.
For · A favor $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, the determinant is $3\cdot2 - 1\cdot1$. What is it? · Para $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, el determinante es $3\cdot2 - 1\cdot1$. ¿Cuál es?
The · El determinant of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$. · El determinante de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ es $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
Geometrically, the size of a 2 × 2 determinant tells you… · Geométricamente, el tamaño de un determinante 2 × 2 te dice…
The absolute value of the determinant is the area · área scaled by the matrix — zero area means the columns are parallel. · El valor absoluto del determinante es el área escalada por la matriz — un área cero significa que las columnas son paralelas.
The inverse
- The inverse matrix 逆矩阵 $A^{-1}$ is the matrix that undoes $A$.
- Multiplying them gives the identity matrix 单位矩阵 $I$ — the matrix version of $1$: $A A^{-1} = I$.
- For a $2\times2$ matrix, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Notice the determinant $ad - bc$ sitting in the denominator.
La inversa
- La matriz inversa 逆矩阵 $A^{-1}$ es la matriz que deshace a $A$.
- Al multiplicarlas se obtiene la matriz identidad 单位矩阵 $I$ — la versión matricial del $1$: $A A^{-1} = I$.
- Para una matriz $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Observa el determinante $ad - bc$ en el denominador.
Multiplying a matrix by its inverse gives the identity matrix. · Multiplicar una matriz por su inversa da la matriz identidad.
By definition $A A^{-1} = I$, the identity matrix — the matrix version of the number $1$. · Por definición $A A^{-1} = I$, la matriz identidad — la versión matricial del número $1$.
When an inverse exists
- You cannot divide by $ad - bc$ if it is zero — so a zero determinant means no inverse.
- Such a matrix is not invertible 不可逆的: it squashes the plane onto a line and loses information.
- A non-zero determinant guarantees a unique inverse.
- So the determinant is the quick test: non-zero $\Rightarrow$ invertible.
Cuándo existe una inversa
- No se puede dividir entre $ad - bc$ si es cero — por lo tanto, un determinante nulo implica sin inversa.
- Dicha matriz es no invertible 不可逆 de: aplasta el plano sobre una línea y pierde información.
- Un determinante distinto de cero garantiza una inversa única.
- Así, el determinante es la prueba rápida: distinto de cero $\Rightarrow$ invertible.
The determinant is an area factor · El determinante es un factor de área
The determinant tells you how much a matrix scales area; here it scales area by four. · El determinante te indica cuánto escala una matriz el área; aquí escala el área por cuatro.
A 2 × 2 matrix has an inverse exactly when its determinant is… · Una matriz 2 × 2 tiene inversa exactamente cuando su determinante es…
If $\det = 0$ the columns are parallel and no inverse exists — the matrix is not invertible. · Si $\det = 0$ las columnas son paralelas y no existe inversa — la matriz es no invertible.
Select all · todos true statements. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
Only matrices with a non-zero determinant are invertible, so not every matrix has an inverse. · Solo las matrices con un determinante distinto de cero son invertibles, por lo que no toda matriz tiene una inversa.
Why it matters
- An inverse solves a matrix equation $A\vec{x} = \vec{b}$ in one step: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- That is exactly how a system of linear equations is solved with matrices.
- The determinant also tells you when a system has no unique solution (det $= 0$).
- These ideas power computer graphics, cryptography, and data science.
Por qué importa
- Una inversa resuelve una ecuación matricial $A\vec{x} = \vec{b}$ en un solo paso: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- Es exactamente cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones lineales con matrices.
- El determinante también te indica cuándo un sistema no tiene solución única (det $= 0$).
- Estas ideas impulsan la gráfica por computadora, la criptografía y la ciencia de datos.
A matrix has an inverse only when its determinant is non-zero. If $ad - bc = 0$, the formula divides by zero — there is no inverse, and a system $A\vec{x} = \vec{b}$ has either no solution or infinitely many. Always check the determinant first.
Una matriz tiene inversa solo cuando su determinante es distinto de cero. Si $ad - bc = 0$, la fórmula divide por cero — no hay inversa, y un sistema $A\vec{x} = \vec{b}$ tiene ya sea ninguna solución o infinitas soluciones. Siempre revisa primero el determinante.
Invert $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinant: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (non-zero, so an inverse exists).
- Swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Check: $A A^{-1} = I$. ✓
Invierte $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinante: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (distinto de cero, por lo que existe una inversa).
- Intercambia la diagonal principal, cambia el signo de la antidiagonal y divide entre $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Verificación: $A A^{-1} = I$. ✓
The determinant $ad - bc$ is one number measuring the area a matrix scales. The inverse $A^{-1}$ undoes the matrix, with $A A^{-1} = I$ (the identity matrix). An inverse exists only when the determinant is non-zero; a zero determinant means the matrix is not invertible.
El determinante $ad - bc$ es un único número que mide el factor de escala del área que aplica la matriz. La inversa $A^{-1}$ deshace la matriz, con $A A^{-1} = I$ (la matriz identidad). Una inversa existe solo cuando el determinante es distinto de cero; un determinante nulo significa que la matriz es no invertible.