Linear Transformations and Matrices · Transformaciones Lineales y Matrices
| English | Español |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformación lineal |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | cuadrado unitario |
| shear/ʃɪə/ | cizalladura |
A matrix moves points
- A matrix does more than store numbers — it can move every point of the plane.
- Feed it a vector, and it hands back a new, transformed vector.
- Squares can become slanted; grids can stretch or rotate.
- This turns a matrix into a machine for reshaping space.
Una matriz mueve puntos
- Una matriz hace más que almacenar números — puede mover cada punto del plano.
- Al alimentarla con un vector, devuelve un nuevo vector transformado.
- Los cuadrados pueden volverse oblicuos; las cuadrículas pueden estirarse o rotar.
- Esto convierte a una matriz en una máquina para remodelar el espacio.
What a linear transformation is
- A linear transformation 线性变换 is a function that maps every vector to a new vector.
- It keeps the origin fixed and keeps grid lines straight and evenly spaced.
- No curving, no tearing — parallel lines stay parallel.
- Every linear transformation of the plane can be written as multiplication by a matrix.
Qué es una transformación lineal
- Una transformación lineal 线性变换 es una función que mapea cada vector a un nuevo vector.
- Mantiene el origen fijo y conserva las líneas de la cuadrícula rectas y equiespaciadas.
- Sin curvaturas ni desgarros — las líneas paralelas permanecen paralelas.
- Toda transformación lineal del plano se puede escribir como multiplicación por una matriz.
A linear transformation of the plane always… · Una transformación lineal del plano siempre…
A linear transformation keeps the origin fixed and maps straight, evenly-spaced grid lines to straight, evenly-spaced lines. · Una transformación lineal mantiene el origen fijo y mapea líneas de la cuadrícula rectas y uniformemente espaciadas a líneas rectas y uniformemente espaciadas.
The columns say where the axes go
- Column 1 shows where the vector $\langle 1, 0\rangle$ lands; column 2, where $\langle 0, 1\rangle$ lands.
- Knowing those two images tells you where every point goes.
- To transform a vector, multiply the matrix by it (row-by-column).
- The unit square 单位正方形 becomes a parallelogram — its shape reveals the transformation.
Las columnas indican adónde van los ejes
- La columna 1 muestra dónde aterriza el vector $\langle 1, 0\rangle$; la columna 2, dónde aterriza $\langle 0, 1\rangle$.
- Conocer estas dos imágenes te dice adónde va cada punto.
- Para transformar un vector, multiplica la matriz por él (fila por columna).
- El cuadrado unitario 单位正方形 se convierte en un paralelogramo — su forma revela la transformación.
The columns of the matrix tell you where the two basis ____ land. · Las columnas de la matriz te dicen dónde aterrizan los dos vectores base ____.
Column 1 is where $\langle1,0\rangle$ lands and column 2 is where $\langle0,1\rangle$ lands — that fully describes the transformation. · La columna 1 es donde aterriza $\langle1,0\rangle$ y la columna 2 es donde aterriza $\langle0,1\rangle$ — eso describe completamente la transformación.
The matrix $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ sends $\langle1,1\rangle$ to · hasta $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. What is the new $x$? · La matriz $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ envía $\langle1,1\rangle$ a $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. ¿Cuál es la nueva $x$?
Row 1 dotted with $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, so the image is $\langle3, 1\rangle$. · Fila 1 con producto punto $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, por lo que la imagen es $\langle3, 1\rangle$.
Familiar transformations
- Scaling: a diagonal matrix stretches or shrinks along the axes.
- Rotation: a special matrix spins the plane around the origin.
- Shear 错切: slides one direction while holding the other — like italic text.
- Reflection: flips the plane across a line.
Transformaciones familiares
- Escala: una matriz diagonal estira o encoge a lo largo de los ejes.
- Rotación: una matriz especial gira el plano alrededor del origen.
- Cisallamiento 错切: desliza en una dirección mientras mantiene la otra — como texto en cursiva.
- Reflejo: voltea el plano a través de una línea.
Linear transformations as matrices · Transformaciones lineales como matrices
A rotation is a linear transformation; this matrix turns the plane a quarter turn. · Una rotación es una transformación lineal; esta matriz gira el plano un cuarto de vuelta.
Doing one linear transformation after another corresponds to multiplying their matrices. · Hacer una transformación lineal después de otra corresponde a multiplicar sus matrices.
Composition of transformations is matrix multiplication — that is why the product order matters. · La composición de transformaciones es la multiplicación de matrices — por eso importa el orden del producto.
Select all · todos true statements about linear transformations. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre transformaciones lineales.
Linear transformations keep lines straight — they never curve the grid. · Las transformaciones lineales mantienen las líneas rectas — nunca curvan la cuadrícula.
Combining transformations
- Do one transformation, then another: the result is a single new transformation.
- Its matrix is the product of the two matrices.
- Because matrix products depend on order, "rotate then shear" differs from "shear then rotate".
- This is why computer graphics stack transformations by multiplying matrices.
Combinando transformaciones
- Aplica una transformación, luego otra: el resultado es una única nueva transformación.
- Su matriz es el producto de las dos matrices.
- Como los productos de matrices dependen del orden, "rotar luego cisallar" difiere de "cisallar luego rotar".
- Por eso, los gráficos por computadora apilan transformaciones multiplicando matrices.
The order of combined transformations matters. Applying $A$ then $B$ is the matrix product $BA$ — the second transformation's matrix goes on the left. Swapping the order usually gives a different result, just as $BA \ne AB$ for matrices.
El orden de las transformaciones combinadas importa. Aplicar $A$ luego $B$ es el producto matricial $BA$ — la matriz de la segunda transformación va a la izquierda. Invertir el orden generalmente da un resultado diferente, igual que $BA \ne AB$ para matrices.
Apply $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ to the corners of the unit square.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — the bottom edge doubles in length.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — the top slides right (a shear).
- The square becomes a slanted parallelogram, exactly as the figure shows.
Aplica $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ a las esquinas del cuadrado unitario.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — el borde inferior duplica su longitud.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — la parte superior se desliza hacia la derecha (un cisallamiento).
- El cuadrado se convierte en un paralelogramo inclinado, exactamente como muestra la figura.
A linear transformation maps every vector to a new one, keeping the origin fixed and grid lines straight — and every one is multiplication by a matrix. The matrix's columns are where the axes land, so it turns the unit square into a parallelogram. Combining transformations means multiplying matrices, and order matters.
Una transformación lineal mapea cada vector a uno nuevo, manteniendo el origen fijo y las líneas de la cuadrícula rectas — y todas son multiplicación por una matriz. Las columnas de la matriz indican dónde aterrizan los ejes, así que convierten el cuadrado unitario 单位正方形 en un paralelogramo. Combinar transformaciones significa multiplicar matrices, y el orden importa.