Vector-Valued Functions · Funciones de Valor Vectorial
| English | Español |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | función vectorial |
| vector/ˈvektə/ | vectorial |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parámetro |
A function that outputs an arrow
- Ordinary functions output a number; parametric ones output a pair of coordinates.
- A vector-valued function packages that pair into a single vector.
- Think of it as an arrow from the origin whose tip moves as time passes.
- It is the natural language for describing position, velocity, and motion in the plane.
Una función que genera una flecha
- Las funciones ordinarias generan un número; las paramétricas generan un par de coordenadas.
- Una función vectorial agrupa ese par en un solo vector.
- Imagínala como una flecha que nace en el origen y cuya punta se desplaza conforme avanza el tiempo.
- Es el lenguaje natural para describir posición, velocidad y movimiento en el plano.
What it outputs
- A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)$ returns a vector 向量 for each input $t$.
- Usually that vector is a position: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- The parameter 参数 $t$ (often time) drives the arrow to a new spot.
- So one input gives one arrow, pointing from the origin to the current location.
Lo que genera
- Una función vectorial $\vec{r}(t)$ devuelve un vector para cada entrada $t$.
- Usualmente, ese vector representa una posición: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- El parámetro $t$ (frecuentemente el tiempo) mueve la flecha a una nueva ubicación.
- Por tanto, una entrada produce una flecha que apunta desde el origen hasta la posición actual.
A vector-valued function $\vec{r}(t)$ outputs, for each $t$, a… · Una función de valor vectorial $\vec{r}(t)$ produce, para cada $t$, un…
A vector-valued function returns a vector for each input — often the position $\langle x(t), y(t)\rangle$. · Una función de valor vectorial devuelve un vector para cada entrada — usualmente la posición $\langle x(t), y(t)\rangle$.
The tip traces the path
- Hold the tail at the origin and let $t$ increase.
- The arrow's tip moves, and the trail it leaves is the curve.
- That curve is exactly the parametric path from earlier lessons.
- So a vector-valued function and a parametric function are two views of one idea.
La punta traza la trayectoria
- Mantén la cola fija en el origen y haz que $t$ aumente.
- La punta de la flecha se moverá, y la estela que deja es la curva.
- Esa curva es exactamente la misma trayectoria paramétrica estudiada anteriormente.
- Así, una función vectorial y una función paramétrica son dos perspectivas de una misma idea.
A vector-valued function $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ is closely related to a parametric function. · Una función de valor vectorial $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ está estrechamente relacionada con una función paramétrica.
They are two views of the same idea: the components $x(t), y(t)$ are exactly the parametric equations. · Son dos visiones de la misma idea: las componentes $x(t), y(t)$ son exactamente las ecuaciones paramétricas.
As the parameter $t$ changes, the ____ of the position vector traces the curve. · A medida que el parámetro $t$ cambia, la ____ del vector de posición traza la curva.
The vector starts at the origin; its arrow tip · punta marks the current point on the path. · El vector comienza en el origen; su punta marca el punto actual en la trayectoria.
For · A favor $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$, what is the $y$-component at $t = 3$? · Para $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$, ¿cuál es la componente $y$ en $t = 3$?
The · El $y$-component is $t^2 = 3^2 = 9$; the $x$-component is $2t = 6$, so $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$. · La componente $y$ es $t^2 = 3^2 = 9$; la componente $x$ es $2t = 6$, por lo tanto $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$.
Select all · todos true statements about vector-valued functions. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre funciones de valor vectorial.
They output a vector, not a single number. The other three are correct. · Producen un vector, no un número único. Las otras tres son correctas.
Evaluating and combining
- Evaluate $\vec{r}(t)$ by plugging $t$ into each component.
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ for $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- The rate of change of $\vec{r}(t)$ is the velocity vector — components $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- Add two vector-valued functions by adding their components.
Evaluación y combinación
- Evalúa $\vec{r}(t)$ sustituyendo $t$ en cada componente.
- Para $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$, tenemos $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- La tasa de cambio de $\vec{r}(t)$ es el vector velocidad — con componentes $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- Se suman dos funciones vectoriales sumando sus componentes correspondientes.
Vector-valued functions · Funciones de valor vectorial
A vector-valued function outputs a vector; add the component vectors to get the resultant. · Una función de valor vectorial produce un vector; suma los vectores componentes para obtener el vector resultante.
Why the vector view helps
- Writing motion as one vector keeps position, velocity, and direction together.
- It generalises cleanly to three dimensions, where you add a $z(t)$ component.
- Physics and computer graphics describe moving objects exactly this way.
- The single-arrow picture makes combined motions easy to reason about.
Por qué ayuda la perspectiva vectorial
- Al expresar el movimiento como un único vector, se mantienen unidos la posición, la velocidad y la dirección.
- Se generaliza de forma sencilla a tres dimensiones, añadiendo una componente $z(t)$.
- La física y los gráficos por computadora describen objetos en movimiento exactamente de esta manera.
- La imagen de la flecha única facilita el razonamiento sobre movimientos combinados.
A vector-valued function outputs a vector, not a number. Do not treat $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ as a single value — it always carries two components (a direction and a size), and both change with $t$.
Una función vectorial genera un vector, no un número. No trates $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ como un valor único — siempre tiene dos componentes (una dirección y una magnitud), y ambas cambian con $t$.
A particle moves as $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- At $t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — it starts at the origin.
- At $t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — up and to the right.
- Its tip traces the parabola $y = x^2$ as $t$ increases.
Una partícula se mueve según $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- En $t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — parte del origen.
- En $t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — arriba y a la derecha.
- Su punta traza la parábola $y = x^2$ a medida que aumenta $t$.
A vector-valued function $\vec{r}(t)$ outputs a vector for each parameter value — usually the position $\langle x(t), y(t)\rangle$. Its tip traces a path as $t$ changes, so it is the vector view of a parametric function. Evaluate it component by component.
Una función vectorial $\vec{r}(t)$ genera un vector para cada valor del parámetro — usualmente la posición $\langle x(t), y(t)\rangle$. Su punta traza una trayectoria conforme cambia $t$, por lo que constituye la perspectiva vectorial de una función paramétrica. Evalúala componente a componente.