Logarithmic Functions · Funciones Logarítmicas
| English | Español |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | función logarítmica |
| base/beɪs/ | base |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota vertical |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | comportamiento final |
The slow-and-steady curve
- The exponential rockets upward; its mirror, the logarithm, does the opposite.
- A logarithm rises forever but slower and slower, never flattening to a stop.
- It clings to the y-axis on the left and creeps upward on the right.
- This gentle shape models sound loudness, acidity, and the "feel" of big numbers.
La curva de crecimiento lento y constante
- La exponencial se dispara hacia arriba; su reflejo, el logaritmo, hace lo contrario.
- Un logaritmo crece para siempre, pero cada vez más despacio, sin aplanarse nunca hasta detenerse.
- Se adhiere al eje y a la izquierda y trepa lentamente hacia la derecha.
- Esta forma suave modela el volumen del sonido, la acidez y la "sensación" de números grandes.
The graph of a logarithm
- A logarithmic function 对数函数 is $f(x) = \log_b x$, the inverse of $b^x$.
- Its graph passes through $(1, 0)$, since $\log_b 1 = 0$ for every base.
- To the right of $1$ it is positive; between $0$ and $1$ it is negative.
- Read the shape as the exponential's reflection across $y = x$.
La gráfica de un logaritmo
- Una función logarítmica 对数函数 es $f(x) = \log_b x$, la inversa de $b^x$.
- Su gráfica pasa por $(1, 0)$, ya que $\log_b 1 = 0$ para toda base.
- A la derecha de $1$ es positivo; entre $0$ y $1$ es negativo.
- Interprete la forma como el reflejo de la exponencial a través de $y = x$.
Shape the logarithmic curve · Moldea la curva logarítmica
y = a·log(x − b) + c
This log curve climbs slowly and clings to the y-axis. It exists only for x greater than its vertical asymptote. · Esta curva logarítmica asciende lentamente y se adhiere al eje y. Solo existe para x mayor que su asíntota vertical.
Domain and vertical asymptote
- The domain 定义域 is $x > 0$ — you cannot take the log of zero or a negative.
- As $x \to 0^+$, the output plunges to $-\infty$: a vertical asymptote 竖直渐近线 at $x = 0$.
- The graph never touches the y-axis, only hugs it more and more tightly.
- Its range, by contrast, is all real numbers.
Dominio y asíntota vertical
- El dominio 定义域 es $x > 0$ — no se puede calcular el logaritmo de cero ni de un número negativo.
- Cuando $x \to 0^+$, la salida desciende hacia $-\infty$: una asíntota vertical 竖直渐近线 en $x = 0$.
- La gráfica nunca toca el eje y, solo se acerca a él cada vez más.
- Su rango, en contraste, son todos los números reales.
The domain of $f(x) = \log_b x$ is… · El dominio de $f(x) = \log_b x$ es…
You can only take the log of a positive number, so the domain is $x > 0$. · Solo puedes calcular el logaritmo de un número positivo, por lo tanto el dominio es $x > 0$.
A logarithmic function has a ____ asymptote at $x = 0$. · Una función logarítmica tiene una ____ asíntota en $x = 0$.
As $x \to 0^+$ the output dives to $-\infty$, so $x = 0$ is a vertical asymptote. · A medida que $x \to 0^+$, la salida desciende hacia $-\infty$, por lo que $x = 0$ es una asíntota vertical.
The graph of $y = \log_b x$ crosses the x-axis at… · La gráfica de $y = \log_b x$ cruza el eje x en…
Since $b^0 = 1$, we have $\log_b 1 = 0$: the x-intercept is always at $x = 1$. · Dado que $b^0 = 1$, tenemos $\log_b 1 = 0$: la intersección con el eje x siempre está en $x = 1$.
Select all · todos true statements about $y = \log_b x$ (with $b > 1$). · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre $y = \log_b x$ (con $b > 1$).
It rises without bound, so it has no maximum. The other three are correct. · Asciende sin límite, por lo que no tiene máximo. Las otras tres son correctas.
The base sets the direction
- If the base 底数 $b > 1$, the log function is increasing (slowly rising).
- If $0 < b < 1$, it is decreasing instead.
- A bigger base makes the curve climb even more gently.
- Whatever the base, the curve still passes through $(1, 0)$ and has the same asymptote.
La base determina la dirección
- Si la base 底数 $b > 1$, la función logarítmica es creciente (sube lentamente).
- Si $0 < b < 1$, en cambio es decreciente.
- Una base mayor hace que la curva suba aún más suavemente.
- Independientemente de la base, la curva sigue pasando por $(1, 0)$ y tiene la misma asíntota.
A logarithmic function keeps increasing forever, but more and more slowly. · Una función logarítmica sigue aumentando indefinidamente, pero cada vez más lentamente.
It rises without bound as $x \to \infty$, yet its slope flattens — the opposite of exponential speed-up. · Asciende sin límite a medida que $x \to \infty$, pero su pendiente se aplanan — lo opuesto al aumento exponencial.
End behavior: unbounded but slow
- As $x \to \infty$, the end behavior 末端行为 is $\log_b x \to \infty$ — it never levels off.
- But it grows so slowly that reaching $y = 10$ can take an enormous $x$.
- Compared with an exponential's explosion, the logarithm barely moves.
- That is exactly why logs are used to compress huge ranges of numbers.
Comportamiento final: ilimitado pero lento
- Cuando $x \to \infty$, el comportamiento final 末端行为 es $\log_b x \to \infty$ — nunca se nivela.
- Pero crece tan despacio que alcanzar $y = 10$ puede tomar un enorme $x$.
- En comparación con la explosión de una exponencial, el logaritmo apenas se mueve.
- Es exactamente por eso que los logaritmos se usan para comprimir rangos inmensos de números.
A logarithm's slow growth is not the same as "having a ceiling". It keeps rising forever — there is no horizontal asymptote and no maximum. It just takes longer and longer to climb each additional unit.
El crecimiento lento de un logaritmo no es lo mismo que "tener un techo". Continúa creciendo para siempre — no hay asíntota horizontal ni máximo. Simplemente tarda cada vez más en subir cada unidad adicional.
Describe $y = \log_2 x$ at a few points.
- $\log_2 1 = 0$ (the x-intercept), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- To gain each $+1$ in output, the input must double — growth is slowing.
- Near $x = 0$ the curve dives down the vertical asymptote toward $-\infty$.
Describa $y = \log_2 x$ en algunos puntos.
- $\log_2 1 = 0$ (la intersección con el eje x), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- Para ganar cada $+1$ en la salida, la entrada debe duplicarse — el crecimiento está disminuyendo.
- Cerca de $x = 0$ la curva desciende por la asíntota vertical hacia $-\infty$.
A logarithmic function $\log_b x$ has domain $x > 0$, a vertical asymptote at $x = 0$, and passes through $(1, 0)$. The base decides increasing vs decreasing, and its end behavior is unbounded but ever-slowing growth — the mirror of an exponential.
Una función logarítmica $\log_b x$ tiene dominio $x > 0$, una asíntota vertical en $x = 0$ y pasa por $(1, 0)$. La base determina si es creciente o decreciente, y su comportamiento asintótico es ilimitado pero de crecimiento cada vez más lento — el reflejo de una exponencial.