Manipulating Logarithmic Expressions · Manipulación de Expresiones Logarítmicas
| English | Español |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regla del cociente |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regla del producto |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | regla de la potencia |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | cambio-de-base |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
Turning products into sums
- Before calculators, people multiplied huge numbers by adding their logarithms.
- That magic works because a log turns multiplication into addition.
- Three simple laws let you expand, condense, or re-base any log expression.
- They are just the exponent rules, viewed through the log's mirror.
Convertir productos en sumas
- Antes de las calculadoras, se multiplicaban números grandes sumando sus logaritmos.
- Esa magia funciona porque un logaritmo convierte la multiplicación en suma.
- Tres leyes simples permiten expandir, condensar o cambiar la base de cualquier expresión logarítmica.
- Son simplemente las reglas de los exponentes, vistas a través del espejo del logaritmo.
Product and quotient rules
- The product rule 乘法法则 splits a product: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- The quotient rule 除法法则 splits a quotient: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- Multiplication inside becomes addition outside; division becomes subtraction.
- These mirror "multiply powers → add exponents" and "divide → subtract".
Reglas del producto y el cociente
- La regla del producto 乘法法则 descompone un producto: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- La regla del cociente 除法法则 descompone un cociente: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- La multiplicación dentro se convierte en suma fuera; la división, en resta.
- Estas reglas reflejan "multiplicar potencias → sumar exponentes" y "dividir → restar".
The logarithm behind the laws · El logaritmo detrás de las leyes
y = a·log(x − b) + c
These laws come from the exponent rules in reverse. Explore the log curve whose algebra they describe. · Estas leyes provienen de las reglas de exponentes a la inversa. Explora la curva logarítmica cuya algebra describen.
The · El product rule for logs says $\log_b(xy) =$ · La regla del producto para logaritmos dice $\log_b(xy) =$
A log of a product is a sum · suma of logs — the mirror of "multiplying powers adds exponents". · Un logaritmo de un producto es una suma de logaritmos — el espejo de "multiplicar potencias suma exponentes".
The · El quotient rule says $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$. · La regla del cociente dice $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
A log of a quotient is a difference of logs — the mirror of "dividing powers subtracts exponents". · Un logaritmo de un cociente es una diferencia de logaritmos — el espejo de "dividir potencias resta exponentes".
The power rule
- The power rule 幂法则 brings an exponent out front: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- So $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- A power buried inside a log becomes a simple multiplier.
- Together, the three rules can fully expand or condense a log expression.
La regla de la potencia
- La regla de la potencia 幂法则 saca el exponente al frente: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- Así, $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- Una potencia oculta dentro de un logaritmo se convierte en un simple multiplicador.
- Juntas, las tres reglas pueden expandir o condensar completamente una expresión logarítmica.
The · El power rule for logs says $\log_b(x^n) =$ · La regla de la potencia para logaritmos dice $\log_b(x^n) =$
A power inside a log comes out front as a multiplier: $\log_b(x^n) = n\log_b x$. · Una potencia dentro de un logaritmo sale al frente como multiplicador: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
Change of base
- Calculators only have $\log$ (base 10) and $\ln$ (base $e$) buttons.
- The change-of-base 换底 formula handles any other base: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- So $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Pick whichever base your tools support, then divide.
Cambio de base
- Las calculadoras solo tienen botones para $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$).
- La fórmula de cambio de base 换底 formula maneja cualquier otra base: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- Por lo tanto, $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Elige la base que soporten tus herramientas y luego divide.
The ____ formula lets you compute $\log_2 7$ as $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ on a calculator. · La fórmula ____ te permite calcular $\log_2 7$ como $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ en una calculadora.
The · El change-of-base formula $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ works with any convenient base. · La fórmula de cambio-de-base $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ funciona con cualquier base conveniente.
Expand and condense
- Expanding uses the rules left-to-right to break one log into many.
- Condensing runs them right-to-left to combine many logs into one.
- Two expressions are equivalent 等价 if the rules convert one into the other.
- Choose the form that best fits the problem — solving usually wants a single log.
Expandir y condensar
- Expandir usa las reglas de izquierda a derecha para dividir un logaritmo en varios.
- Condensar las aplica de derecha a izquierda para combinar varios logaritmos en uno solo.
- Dos expresiones son equivalentes 等价 si las reglas convierten una en la otra.
- Elige la forma que mejor se adapte al problema — resolver generalmente requiere un solo logaritmo.
Select all · todos correct log laws. · Selecciona todas las leyes correctas de los logaritmos.
There is no rule for $\log(x+y)$ — the laws apply to products, quotients, and powers, not sums. The other three are correct. · No hay ninguna regla para $\log(x+y)$ — las leyes aplican a productos, cocientes y potencias, no a sumas. Las otras tres son correctas.
There is no rule for the log of a sum: $\log(x + y)$ does not equal $\log x + \log y$. The laws only apply to products, quotients, and powers inside the log. Splitting a sum is one of the most common log mistakes.
No existe ninguna regla para el logaritmo de una suma: $\log(x + y)$ no es igual a $\log x + \log y$. Las leyes solo se aplican a productos, cocientes y potencias dentro del logaritmo. Descomponer una suma es uno de los errores más comunes con logaritmos.
Condense $2\log x + \log y - \log z$ into one logarithm.
- Power rule: $2\log x = \log x^2$.
- Product then quotient: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- One clean logarithm, ready to solve or evaluate.
Condensa $2\log x + \log y - \log z$ en un solo logaritmo.
- Regla de la potencia: $2\log x = \log x^2$.
- Producto luego cociente: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- Un solo logaritmo limpio, listo para resolver o evaluar.
The log laws mirror the exponent rules: the product rule makes a sum, the quotient rule a difference, and the power rule a multiplier. The change-of-base formula evaluates any base with a calculator, and the rules show when two forms are equivalent — but never split $\log(x+y)$.
Las leyes del logaritmo reflejan las reglas de los exponentes: la regla del producto produce una suma, la regla del cociente una diferencia y la regla de la potencia un multiplicador. La fórmula de cambio de base evalúa cualquier base con una calculadora, y las reglas muestran cuándo dos formas son equivalentes, pero nunca se debe descomponer $\log(x+y)$.