Inverses of Exponential Functions · Inversas de Funciones Exponenciales
| English | Español |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | función logarítmica |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota vertical |
The exponential's mirror twin
- Every exponential function has a partner that runs it backward.
- Where $2^x$ turns an exponent into a value, its partner turns a value back into the exponent.
- That partner is the logarithm — and geometrically it is a perfect mirror image.
- Understanding the pair together makes both far easier.
El gemelo espejo de la exponencial
- Toda función exponencial tiene una pareja que la invierte.
- Donde $2^x$ convierte un exponente en un valor, su pareja devuelve el valor al exponente.
- Esa pareja es el logaritmo — y geométricamente es una imagen especular perfecta.
- Entender a la par juntos hace que ambos sean mucho más fáciles.
Log is the inverse of exponential
- The logarithmic function 对数函数 $\log_b x$ is the inverse 反函数 of the exponential $b^x$.
- They share the same base and undo each other's work.
- $b^x$ takes an exponent to a value; $\log_b x$ takes the value back to the exponent.
- So logs and exponentials are two views of one relationship.
Log es el inverso de la exponencial
- La función logarítmica 对数函数 $\log_b x$ es el inverso 反函数 de la exponencial $b^x$.
- Comparten la misma base y deshacen el trabajo uno del otro.
- $b^x$ lleva un exponente a un valor; $\log_b x$ lleva el valor de vuelta al exponente.
- Así, los logs y las exponenciales son dos vistas de una misma relación.
The · El logarithmic function $\log_b x$ is the ____ of the exponential function $b^x$. · La función logarítmica $\log_b x$ es el ____ de la función exponencial $b^x$.
They undo each other, so the log function is the inverse of the exponential with the same base. · Se anulan mutuamente, por lo que la función logarítmica es la inversa de la exponencial con la misma base.
Reflection across y = x
- Because they are inverses, their graphs are reflections across the line $y = x$.
- The soaring exponential becomes a slowly-rising logarithm, and vice versa.
- Every point $(a, b)$ on $b^x$ corresponds to $(b, a)$ on $\log_b x$.
- Seeing one graph, you can sketch the other by flipping across $y = x$.
Reflexión a través de y = x
- Al ser inversas, sus gráficas son reflexiones a través de la recta $y = x$.
- La exponencial ascendente se convierte en un logaritmo de crecimiento lento, y viceversa.
- Cada punto $(a, b)$ en $b^x$ corresponde a $(b, a)$ en $\log_b x$.
- Al ver una gráfica, puedes bosquejar la otra reflejándola a través de $y = x$.
The exponential curve whose mirror is the logarithm · La curva exponencial cuyo espejo es el logaritmo
y = 2ˣ
Picture reflecting this curve y = 2ˣ across the line y = x. The mirror image is the graph of y = log₂ x. · Reflejar esta curva y = 2ˣ a través de la línea y = x. La imagen especular es la gráfica de y = log₂ x.
Swapped domain, range, and asymptote
- Inverses swap domain and range. The exponential's range $y > 0$ becomes the log's domain 定义域 $x > 0$.
- The exponential's horizontal asymptote $y = 0$ becomes the log's vertical asymptote 竖直渐近线 $x = 0$.
- The log's range is all real numbers — it can be any exponent.
- So the log function exists only for positive inputs, hugging the y-axis on the left.
Dominio, rango y asíntota intercambiados
- Las inversas intercambian dominio y rango. El rango de la exponencial $y > 0$ se convierte en el dominio 定义域 $x > 0$ del log.
- La asíntota horizontal de la exponencial $y = 0$ se convierte en la asíntota vertical 竖直渐近线 $x = 0$ del log.
- El rango del log son todos los números reales — puede ser cualquier exponente.
- Por lo tanto, la función log solo existe para entradas positivas, pegándose al eje y a la izquierda.
The exponential has a horizontal asymptote; its inverse, the log, has a ____ asymptote instead. · La exponencial tiene una asíntota horizontal; su inversa, el logaritmo, tiene una asíntota ____ en su lugar.
Reflecting across $y=x$ turns the horizontal asymptote $y=0$ into the vertical asymptote $x=0$. · Reflejar a través de $y=x$ convierte la asíntota horizontal $y=0$ en la asíntota vertical $x=0$.
The domain of $\log_b x$ is $x > 0$, which was the range of the exponential. · El dominio de $\log_b x$ es $x > 0$, que era el rango de la exponencial.
Inverses swap domain and range: the exponential's range ($y>0$) becomes the log's domain ($x>0$). · Las inversas intercambian dominio y rango: el rango de la exponencial ($y>0$) se convierte en el dominio del logaritmo ($x>0$).
Select all · todos true statements about the exponential and its inverse. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre la exponencial y su inversa.
They are inverses, not the same function. The other three correctly describe the relationship. · Son inversas, no la misma función. Las otras tres describen correctamente la relación.
They undo each other
- Composing a function with its inverse cancels: $\log_b(b^x) = x$ and $b^{\log_b x} = x$.
- So $\log_2(2^7) = 7$ and $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- This cancelling is exactly how logs solve equations with the variable in the exponent.
- Apply the log to both sides, and the exponent comes down where you can reach it.
Se deshacen entre sí
- Composicionar una función con su inversa se cancela: $\log_b(b^x) = x$ y $b^{\log_b x} = x$.
- Así $\log_2(2^7) = 7$ y $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- Esta cancelación es exactamente cómo los logs resuelven ecuaciones con la variable en el exponente.
- Aplica el log a ambos lados, y el exponente baja donde puedas alcanzarlo.
What is $\log_2\!\left(2^5\right)$? · ¿Cuál es $\log_2\!\left(2^5\right)$?
The log undoes the exponential: $\log_2(2^5) = 5$. Inverse functions cancel. · El logaritmo invierte a la exponencial: $\log_2(2^5) = 5$. Las funciones inversas se cancelan.
The exponential accepts any real input but only outputs positives; the log is the mirror — it only accepts positive inputs but outputs any real. Do not give a logarithm a zero or negative argument, and do not expect an exponential to ever output one.
La exponencial acepta cualquier entrada real pero solo produce positivos; el log es el espejo — solo acepta entradas positivas pero produce cualquier número real. No le des un cero o argumento negativo a un logaritmo, y no esperes que una exponencial produzca nunca uno.
Use the inverse relationship to solve $10^x = 1000$.
- Take $\log_{10}$ of both sides: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- The left side cancels to $x$; the right side is $3$ (since $10^3 = 1000$).
- So $x = 3$ — the logarithm undid the exponential.
Usa la relación inversa para resolver $10^x = 1000$.
- Toma $\log_{10}$ de ambos lados: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- El lado izquierdo se cancela a $x$; el lado derecho es $3$ (ya que $10^3 = 1000$).
- Así $x = 3$ — el logaritmo deshizo la exponencial.
The logarithmic function is the inverse of the exponential with the same base: their graphs reflect across $y = x$. Domain and range swap, so the log has domain $x > 0$ and a vertical asymptote at $x = 0$. They undo each other, which is how logs solve exponential equations.
La función logarítmica es el inverso de la exponencial con la misma base: sus gráficas se reflejan a través de $y = x$. Dominio y rango se intercambian, así que el log tiene dominio $x > 0$ y una asíntota vertical en $x = 0$. Se deshacen entre sí, lo cual es cómo los logs resuelven ecuaciones exponenciales.