Logarithms · Logaritmos
| English | Español |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponencial |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo |
| base/beɪs/ | base |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | logaritmo natural |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | logaritmo común |
The reverse question
- Exponentials answer "start at 1 and multiply by 2 five times — what do you get?" ($2^5 = 32$).
- Logarithms answer the reverse: "how many times must I multiply by 2 to reach 32?" ($5$).
- That reverse question comes up everywhere: pH, earthquakes, decibels, compound interest.
- A logarithm is simply the exponent, pulled back out.
La pregunta inversa
- Las exponenciales responden: "empieza en 1 y multiplica por 2 cinco veces — ¿qué obtienes?" ($2^5 = 32$).
- Los logaritmos responden lo inverso: "¿cuántas veces debo multiplicar por 2 para llegar a 32?" ($5$).
- Esa pregunta inversa aparece en todas partes: pH, terremotos, decibelios, interés compuesto.
- Un logaritmo es simplemente el exponente, extraído de nuevo.
A logarithm is an exponent
- A logarithm 对数 answers: to what power must the base 底数 be raised to get a value?
- $\log_b y = x$ means exactly $b^x = y$ — the log is the exponent $x$.
- So $\log_2 8 = 3$ because $2^3 = 8$.
- Reading a log as "the exponent that works" makes it far less mysterious.
Un logaritmo es un exponente
- Un logaritmo 对数 responde: ¿a qué potencia debe elevarse la base 底数 para obtener un valor?
- $\log_b y = x$ significa exactamente $b^x = y$ — el logaritmo es el exponente $x$.
- Entonces $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$.
- Leer un logaritmo como "el exponente que funciona" lo hace mucho menos misterioso.
Read a logarithm off the exponential curve · Leer un logaritmo en la curva exponencial
y = 2ˣ
Find the y-value 8 on the curve y = 2ˣ. The x that produces it is the exponent — that is log base 2 of 8. · Encontrar el valor y = 8 en la curva y = 2ˣ. El x que lo produce es el exponente, es decir, logaritmo en base 2 de 8.
The statement $\log_b y = x$ means the same as… · La afirmación $\log_b y = x$ significa lo mismo que…
A logarithm is the exponent: $\log_b y = x$ asks "$b$ to what power gives $y$?", so $b^x = y$. · Un logaritmo es el exponente: $\log_b y = x$ pregunta "¿a qué potencia se eleva $b$ para obtener $y$?", por lo tanto $b^x = y$.
Evaluate · Evaluación $\log_2 8$. · Evaluar $\log_2 8$.
$2^3 = 8$, so the exponent is $3$: $\log_2 8 = 3$. · $2^3 = 8$, así que el exponente es $3$: $\log_2 8 = 3$.
Common and natural logs
- Two bases are so common they get shortcuts.
- The common log 常用对数 $\log$ (with no base shown) has base $10$.
- The natural log 自然对数 $\ln$ has base $e \approx 2.718$.
- Calculators have both buttons; other bases use the change-of-base formula.
Logaritmos comunes y naturales
- Dos bases son tan comunes que tienen atajos.
- El logaritmo común 常用对数 $\log$ (sin base mostrada) tiene base $10$.
- El logaritmo natural 自然对数 $\ln$ tiene base $e \approx 2.718$.
- Las calculadoras tienen ambos botones; otras bases usan la fórmula de cambio de base.
The · El natural log $\ln$ uses which base? · El logaritmo natural $\ln$ usa ¿qué base?
The · El natural log has base $e$; the common log ($\log$ with no base written) has base $10$. · El logaritmo natural tiene base $e$; el logaritmo decimal ($\log$ sin base escrita) tiene base $10$.
Select all · todos true statements about logarithms. · Seleccionar todas las afirmaciones verdaderas sobre logaritmos.
The argument of a log must be positive, so you cannot take the log of a negative. The other three are correct. · El argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo que no se puede tomar el logaritmo de un número negativo. Las otras tres son correctas.
Converting between forms
- Every exponential 指数 statement has a matching logarithmic one.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — the same fact written two ways.
- Rewrite $10^3 = 1000$ as $\log_{10} 1000 = 3$.
- Switching forms is the key trick for solving equations with unknown exponents.
Convertir entre formas
- Cada declaración exponencial 指数 tiene una correspondiente logarítmica.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — el mismo hecho escrito de dos maneras.
- Reescribe $10^3 = 1000$ como $\log_{10} 1000 = 3$.
- Cambiar de forma es el truco clave para resolver ecuaciones con exponentes desconocidos.
The argument must be positive
- You can only take the logarithm of a positive number.
- A positive base raised to any power stays positive, so $b^x$ never reaches $0$ or a negative.
- Therefore $\log_b y$ is undefined for $y \le 0$.
- This restriction shapes the domain of every logarithmic function.
El argumento debe ser positivo
- Solo puedes tomar el logaritmo de un número positivo.
- Una base positiva elevada a cualquier potencia permanece positiva, por lo que $b^x$ nunca alcanza $0$ ni un negativo.
- Por tanto, $\log_b y$ está indefinido para $y \le 0$.
- Esta restricción moldea el dominio de cada función logarítmica.
The argument (input) of a logarithm must be ____, because a positive base to any power stays positive. · El argumento (entrada) de un logaritmo debe ser ____, porque una base positiva elevada a cualquier potencia sigue siendo positiva.
Since $b^x > 0$ always, no exponent can produce zero or a negative — so $\log_b y$ needs $y > 0$. · Dado que $b^x > 0$ siempre, ningún exponente puede producir cero o un número negativo — así que $\log_b y$ necesita $y > 0$.
$\log_b y$ is the exponent, not a product. $\log_2 8$ is $3$ (the power), not $2 \times 8$. And you can never take the log of $0$ or a negative number — the argument must be strictly positive.
$\log_b y$ es el exponente, no un producto. $\log_2 8$ es $3$ (la potencia), no $2 \times 8$. Y nunca puedes tomar el logaritmo de $0$ ni de un número negativo: el argumento debe ser estrictamente positivo.
Solve $2^x = 16$ using a logarithm.
- Rewrite in log form: $x = \log_2 16$.
- Ask "$2$ to what power is $16$?" — since $2^4 = 16$, the answer is $4$.
- So $x = 4$: the logarithm pulled the exponent out for us.
Resuelve $2^x = 16$ usando un logaritmo.
- Reescribe en forma logarítmica: $x = \log_2 16$.
- Pregúntate "$2$ ¿a qué potencia es $16$?" — dado que $2^4 = 16$, la respuesta es $4$.
- Entonces $x = 4$: el logaritmo sacó el exponente por nosotros.
A logarithm is an exponent: $\log_b y = x$ means $b^x = y$. The common log uses base $10$ and the natural log uses base $e$. Every exponential statement converts to a log statement, and the argument of a log must always be positive.
Un logaritmo es un exponente: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$. El logaritmo común usa base $10$ y el logaritmo natural usa base $e$. Cada declaración exponencial se convierte en una declaración logarítmica, y el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo.