Inverse Functions · Funciones Inversas
| English | Español |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | uno a uno |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | reflexión |
Undoing a function
- Every function does something to an input; its inverse undoes it.
- Add 3, and the inverse subtracts 3. Double it, and the inverse halves.
- The inverse runs the machine backward, turning outputs into inputs.
- This "undo" is exactly how we solve equations built from functions.
Deshacer una función
- Toda función realiza alguna operación sobre una entrada; su inversa deshace esa operación.
- Sumar 3, y la inversa resta 3. Duplicar, y la inversa divide entre dos.
- La inversa hace funcionar la máquina a la inversa, convirtiendo salidas en entradas.
- Este "deshacer" es exactamente cómo resolvemos ecuaciones construidas a partir de funciones.
What an inverse does
- The inverse 反函数 of $f$, written $f^{-1}$, reverses every input-output pair.
- If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$.
- So the domain of $f$ becomes the range of $f^{-1}$, and vice versa.
- Composing them undoes everything: $f^{-1}(f(x)) = x$.
Qué hace una inversa
- La inversa (反函数) de $f$, escrita como $f^{-1}$, invierte cada par entrada-salida.
- Si $f$ envía $2 \to 5$, entonces $f^{-1}$ envía $5 \to 2$.
- Por lo tanto, el dominio de $f$ se convierte en el rango de $f^{-1}$, y viceversa.
- Al componerlas se deshace todo: $f^{-1}(f(x)) = x$.
The · El inverse of a function… · La inversa de una función…
If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$: the inverse undoes what the function did. · Si $f$ envía $2 \to 5$, entonces $f^{-1}$ envía $5 \to 2$: la inversa deshace lo que hizo la función.
It must be one-to-one
- An inverse function exists only if $f$ is one-to-one 一一对应.
- One-to-one means each output comes from exactly one input.
- If two inputs share an output, running backward is ambiguous — no single inverse.
- The horizontal-line test checks this: no horizontal line may hit the graph twice.
Debe ser uno a uno
- Una función inversa existe solo si $f$ es uno a uno (一一对应).
- Uno a uno significa que cada salida proviene de exactamente una entrada.
- Si dos entradas comparten una salida, hacer el proceso hacia atrás resulta ambiguo — no hay una única inversa.
- La prueba de la línea horizontal verifica esto: ninguna línea horizontal puede tocar la gráfica más de una vez.
Reflect a line across y = x to see its inverse · Refleja una línea a través de y = x para ver su inversa
y = ax + b
This line is f(x) = 2x + 1. Its inverse swaps x and y, giving the mirror image across the line y = x. · Esta línea es f(x) = 2x + 1. Su inversa intercambia x e y, dando la imagen especular a través de la línea y = x.
A function has an inverse function only if it is ____ (each output comes from exactly one input). · Una función tiene una función inversa solo si es ____ (cada salida proviene de exactamente una entrada).
If two inputs share an output, the reverse map is ambiguous — so only a one-to-one function is invertible. · Si dos entradas comparten una salida, el mapa inverso es ambiguo — por lo tanto, solo una función uno a uno es invertible.
Finding the inverse rule
- Write $y = f(x)$, then swap $x$ and $y$.
- Now solve the new equation for $y$ — that expression is $f^{-1}(x)$.
- For $f(x) = 2x + 1$: swap to $x = 2y + 1$, solve → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Swapping reverses the roles of input and output, which is the whole idea.
Encontrar la regla de la inversa
- Escribe $y = f(x)$, luego intercambia $x$ e $y$.
- Ahora resuelve la nueva ecuación para $y$ — esa expresión es $f^{-1}(x)$.
- Para $f(x) = 2x + 1$: intercambia a $x = 2y + 1$, resuelve → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Intercambiar invierte los roles de entrada y salida, que es toda la idea.
To find the rule for $f^{-1}$, you… · Para encontrar la regla de $f^{-1}$, tú…
Swapping $x$ and · y $y$ reverses the roles of input and output; solving for $y$ gives the inverse rule. · Intercambiar $x$ e $y$ invierte los roles de entrada y salida; resolver para $y$ da la regla inversa.
Select all · todos true statements about inverse functions. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre funciones inversas.
Not every function is invertible — it must be one-to-one first. The other three are correct. · No toda función es invertible — primero debe ser uno a uno. Las otras tres son correctas.
Reflection across y = x
- Swapping $(a,b)$ to $(b,a)$ mirrors every point across the line $y = x$.
- So the graph of $f^{-1}$ is the reflection 反射 of the graph of $f$ in that line.
- Wherever $f$ crosses the y-axis, $f^{-1}$ crosses the x-axis, and so on.
- You can verify an inverse by checking $f(f^{-1}(x)) = x$.
Reflexión a través de y = x
- Intercambiar $(a,b)$ por $(b,a)$ refleja cada punto a través de la recta $y = x$.
- Así, la gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión (反射) de la gráfica de $f$ en dicha recta.
- Dondequiera que $f$ cruce el eje y, $f^{-1}$ cruza el eje x, y así sucesivamente.
- Puedes verificar una inversa comprobando que $f(f^{-1}(x)) = x$.
The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$. · La gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ a través de la línea $y = x$.
Swapping every $(a,b)$ to · hasta $(b,a)$ mirrors the whole graph across $y = x$. · Intercambiar cada $(a,b)$ por $(b,a)$ refleja toda la gráfica a través de $y = x$.
The notation $f^{-1}$ means the inverse function, not the reciprocal $\dfrac{1}{f}$. Despite the "$-1$", $f^{-1}(x)$ is never $\dfrac{1}{f(x)}$ — it is the function that undoes $f$.
La notación $f^{-1}$ significa la función inversa, no el recíproco $\dfrac{1}{f}$. A pesar del "$-1$", $f^{-1}(x)$ nunca es $\dfrac{1}{f(x)}$ — es la función que deshace a $f$.
Find the inverse of $f(x) = 3x - 6$.
- Write $y = 3x - 6$, then swap: $x = 3y - 6$.
- Solve for $y$: $x + 6 = 3y$, so $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Check: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — it undoes $f$. ✓
Encuentra la inversa de $f(x) = 3x - 6$.
- Escribe $y = 3x - 6$, luego intercambia: $x = 3y - 6$.
- Resuelve para $y$: $x + 6 = 3y$, por lo tanto $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Verifica: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — deshace a $f$. ✓
An inverse function $f^{-1}$ reverses each input-output pair, so it undoes $f$. It exists only when $f$ is one-to-one. Find it by swapping $x$ and $y$ and solving; its graph is the reflection of $f$ across the line $y = x$.
Una función inversa $f^{-1}$ invierte cada par entrada-salida, por lo que deshace a $f$. Solo existe cuando $f$ es uno a uno. Se encuentra intercambiando $x$ e $y$ y resolviendo; su gráfica es la reflexión de $f$ a través de la recta $y = x$.