Composition of Functions · Composición de Funciones
| English | Español |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | composición |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | función compuesta |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
Functions in a chain
- Feed a number into one function, then feed its answer into a second function.
- The two machines work in a row: output of the first becomes input of the second.
- This chaining is called composition, and it builds complex functions from simple ones.
- It is how a "convert then round" or "discount then tax" calculation really works.
Funciones en cadena
- Introduce un número en una función y luego introduce su resultado en una segunda función.
- Las dos máquinas funcionan en serie: la salida de la primera se convierte en la entrada de la segunda.
- A este encadenamiento se le llama composición, y permite construir funciones complejas a partir de funciones simples.
- Es así como realmente funciona un cálculo de "convertir y redondear" o "aplicar descuento e impuestos".
The composite function
- The composite function 复合函数 is written $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Read it inside-out: apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
- The composition 复合 hands the output of $g$ straight to $f$ as its input.
- So $g$ is the inner function and $f$ is the outer one.
La función compuesta
- La función compuesta se escribe $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Se lee de adentro hacia afuera: primero se aplica $g$, y luego se aplica $f$ al resultado.
- La composición entrega la salida de $g$ directamente a $f$ como su entrada.
- Por lo tanto, $g$ es la función interna y $f$ es la externa.
Send an input through two functions in a row · Enviar una entrada a través de dos funciones en secuencia
Step through the pipeline — the output of g is handed straight to f. · Recorrer la tubería: la salida de g se transfiere directamente a f.
In the composition $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, which function acts first · primero? · En la composición $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, ¿qué función actúa primero?
Work inside-out: $g$ acts on $x$ first, then $f$ acts on the result $g(x)$. · Trabajar de adentro hacia afuera: $g$ actúa sobre $x$ primero, luego $f$ actúa sobre el resultado $g(x)$.
Evaluating a composition
- Always work from the inside out.
- To find $f(g(2))$, first compute $g(2)$, then feed that number into $f$.
- With $g(x)=x+1$ and $f(x)=x^2$: $g(2)=3$, then $f(3)=9$.
- You can also compose the formulas to get one rule for the whole chain.
Evaluar una composición
- Siempre se trabaja de adentro hacia afuera.
- Para hallar $f(g(2))$, primero se calcula $g(2)$ y luego se introduce ese número en $f$.
- Con $g(x)=x+1$ y $f(x)=x^2$: $g(2)=3$, entonces $f(3)=9$.
- También se pueden componer las fórmulas para obtener una única regla para toda la cadena.
If $g(x) = x + 1$ and · y $f(x) = x^2$, what is $f(g(2))$? · Si $g(x) = x + 1$ y $f(x) = x^2$, ¿cuál es $f(g(2))$?
Inner first: $g(2) = 3$. Then outer: $f(3) = 3^2 = 9$. · Adentro primero: $g(2) = 3$. Luego afuera: $f(3) = 3^2 = 9$.
The domain of a composition
- The composite is only defined where the chain actually works.
- The value $g(x)$ must be a legal input for $f$ — it must lie in $f$'s domain 定义域.
- If $g$ produces a number $f$ cannot accept, that $x$ is excluded.
- So the composite's domain can be smaller than $g$'s alone.
El dominio de una composición
- La función compuesta solo está definida donde la cadena funciona realmente.
- El valor $g(x)$ debe ser una entrada válida para $f$ —debe pertenecer al dominio de $f$.
- Si $g$ produce un número que $f$ no puede aceptar, ese $x$ se excluye.
- Así, el dominio de la composición puede ser más pequeño que el dominio de $g$ por sí solo.
For · A favor $g(x)$ to be usable inside $f$, the value $g(x)$ must lie in the ____ of $f$. · Para que $g(x)$ sea utilizable dentro de $f$, el valor $g(x)$ debe estar en el ____ de $f$.
The composite is defined only where $g(x)$ is a legal input to $f$ — inside $f$'s domain. · La composición está definida solo donde $g(x)$ es una entrada legal para $f$ — dentro del dominio de $f$.
Select all · todos true statements about composition. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre la composición.
Order usually does · hace matter — composition is not commutative. The other three are correct. · El orden usualmente sí importa — la composición no es conmutativa. Las otras tres son correctas.
Order matters
- Composition is generally not commutative: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Put on socks, then shoes" is not the same as "shoes, then socks".
- With $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$.
- Always respect which function is inner and which is outer.
El orden importa
- La composición generalmente no conmuta: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Ponerse calcetines y después zapatos" no es lo mismo que "zapatos y después calcetines".
- Con $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ pero $g(f(x))=x^2+1$.
- Siempre respeta cuál función es la interna y cuál es la externa.
Composition is commutative: $f(g(x))$ always equals $g(f(x))$. · La composición es conmutativa: $f(g(x))$ siempre es igual a $g(f(x))$.
Order matters. With $f(x)=x^2$ and · y $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$ — different. · El orden importa. Con $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ pero $g(f(x))=x^2+1$ — diferente.
Do not confuse $f(g(x))$ with $f(x)\cdot g(x)$. Composition feeds one function into another; it is not multiplication. And it rarely commutes, so swapping the order usually changes the answer.
No confundas $f(g(x))$ con $f(x)\cdot g(x)$. La composición introduce una función dentro de otra; no es multiplicación. Y raramente conmuta, por lo que cambiar el orden suele alterar el resultado.
Let $g(x) = \sqrt{x}$ and $f(x) = x + 3$. Find $(f \circ g)(x)$ and its domain.
- Inner first: $g(x) = \sqrt{x}$, then outer: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- The square root needs $x \ge 0$, so the domain is $x \ge 0$.
- Even though $f$ alone accepts all reals, the inner $g$ restricts the composite.
Sea $g(x) = \sqrt{x}$ y $f(x) = x + 3$. Halla $(f \circ g)(x)$ y su dominio.
- Primero la interna: $g(x) = \sqrt{x}$, luego la externa: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- La raíz cuadrada requiere $x \ge 0$, por lo que el dominio es $x \ge 0$.
- Aunque $f$ sola acepta todos los reales, la interna $g$ restringe la composición.
A composite function $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ chains two functions: the inner $g$ acts first, then $f$. Evaluate inside-out, and remember its domain needs $g(x)$ to be a legal input for $f$. Composition is generally not commutative — order matters.
Una función compuesta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ encadena dos funciones: la interna $g$ actúa primero, luego $f$. Se evalúa de adentro hacia afuera, y recuerda que su dominio exige que $g(x)$ sea una entrada válida para $f$. La composición generalmente no conmuta: el orden importa.