Arithmetic and Geometric Sequences · Secuencias Aritméticas y Geométricas
| English | Español |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | secuencia aritmética |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | diferencia común |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | secuencia geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razón común |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | explícitas |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | recursivo |
Two ways to grow a list
- Start at $2$ and keep adding $2$: you get $2, 4, 6, 8, \dots$
- Start at $1$ and keep doubling: you get $1, 2, 4, 8, \dots$
- Both are ordered lists of numbers — sequences — but they grow in completely different ways.
- One adds the same amount; the other multiplies by the same amount.
Dos formas de crecer una lista
- Comience en $2$ y siga sumando $2$: obtendrá $2, 4, 6, 8, \dots$
- Comience en $1$ y siga duplicando: obtendrá $1, 2, 4, 8, \dots$
- Ambas son listas ordenadas de números — secuencias — pero crecen de formas completamente distintas.
- Una suma la misma cantidad; la otra multiplica por la misma cantidad.
Arithmetic: add the same amount
- An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed number to get from each term to the next.
- That fixed number is the common difference 公差.
- In $5, 8, 11, 14, \dots$ the common difference is $+3$.
- Graphed, the terms sit on a straight line — steady, linear growth.
Aritmética: sumar la misma cantidad
- Una secuencia aritmética (等差数列) suma un número fijo para pasar de cada término al siguiente.
- Ese número fijo es la diferencia común (公差).
- En $5, 8, 11, 14, \dots$ la diferencia común es $+3$.
- Graficada, los términos se sitúan sobre una línea recta — crecimiento estable y lineal.
An arithmetic sequence has a constant… · Una secuencia aritmética tiene una constante…
Each term is the previous one plus a fixed common difference — that steady addition makes it arithmetic. · Cada término es el anterior más una diferencia común fija — esa suma constante la hace aritmética.
Geometric: multiply by the same amount
- A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed number each step.
- That fixed number is the common ratio 公比.
- In $3, 6, 12, 24, \dots$ the common ratio is $\times 2$.
- Graphed, the terms curve upward ever more steeply.
Geométrica: multiplicar por la misma cantidad
- Una secuencia geométrica (等比数列) multiplica por un número fijo en cada paso.
- Ese número fijo es la razón común (公比).
- En $3, 6, 12, 24, \dots$ la razón común es $\times 2$.
- Graficada, los términos curvan hacia arriba con mayor pendiente cada vez.
Step through a sequence term by term · Recorrer un término de la secuencia paso a paso
Change the common ratio and watch a geometric sequence bend upward far faster than any arithmetic one. · Cambiar la razón común y ver cómo una secuencia geométrica crece mucho más rápido que cualquier secuencia aritmética.
A geometric sequence has a constant… · Una secuencia geométrica tiene una constante…
Each term is the previous one times a fixed common ratio — steady multiplication makes it geometric. · Cada término es el anterior por una razón común fija — la multiplicación constante la hace geométrica.
Explicit and recursive rules
- An explicit 显式 rule jumps straight to any term: arithmetic $a_n = a_1 + (n-1)d$; geometric $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- A recursive 递归 rule builds each term from the one before: $a_n = a_{n-1} + d$ or $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- Explicit is best for finding the 100th term without listing all the others.
- Recursive mirrors how the sequence is actually generated, step by step.
Reglas explícitas y recursivas
- Una regla explícita (显式) salta directamente a cualquier término: aritmética $a_n = a_1 + (n-1)d$; geométrica $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- Una regla recursiva (递归) construye cada término a partir del anterior: $a_n = a_{n-1} + d$ o $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- La explícita es ideal para encontrar el término 100 sin listar todos los anteriores.
- La recursiva refleja cómo se genera realmente la secuencia, paso a paso.
A ____ rule defines each term using the term before it. · Una regla ____ define cada término usando el término anterior.
A recursive rule like $a_n = a_{n-1} + 3$ builds from the previous term; an explicit rule jumps straight to $a_n$. · Una regla recursiva como $a_n = a_{n-1} + 3$ se construye a partir del término anterior; una regla explícita salta directamente a $a_n$.
A geometric sequence starts $3, 6, 12, 24, \dots$. What is the 5th term? · Una secuencia geométrica comienza $3, 6, 12, 24, \dots$. ¿Cuál es el 5º término?
The common ratio is $2$, so the 5th term is $24 \times 2 = 48$. · La razón común es $2$, por lo tanto el 5º término es $24 \times 2 = 48$.
Which grows faster
- Early on, an arithmetic sequence can be ahead.
- But any geometric sequence with ratio $> 1$ eventually overtakes it — and then pulls away fast.
- Adding is linear; multiplying is exponential, and exponential always wins in the long run.
- This is the same contrast that separates linear from exponential functions.
Cuál crece más rápido
- Al principio, una secuencia aritmética puede ir por delante.
- Pero cualquier secuencia geométrica con razón $> 1$ eventualmente la supera — y luego se separa rápidamente.
- Sumar es lineal; multiplicar es exponencial, y lo exponencial siempre gana a largo plazo.
- Este es el mismo contraste que separa las funciones lineales de las exponenciales.
Select all · todos true statements about these sequences. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre estas secuencias.
Sequences can start at any value. The other three describe the add-vs-multiply difference correctly. · Las secuencias pueden comenzar en cualquier valor. Las otras tres describen correctamente la diferencia entre sumar y multiplicar.
Check whether a list adds or multiplies before naming it. $2, 4, 6, 8$ (add 2) is arithmetic, but $2, 4, 8, 16$ (times 2) is geometric — the first two terms look identical, so always test a third term.
Verifique si una lista suma o multiplica antes de nombrarla. $2, 4, 6, 8$ (sumar 2) es aritmética, pero $2, 4, 8, 16$ (multiplicar por 2) es geométrica — los dos primeros términos se ven idénticos, así que siempre pruebe un tercer término.
Find the 6th term of $4, 12, 36, \dots$.
- Ratio: $12 \div 4 = 3$, so this is geometric with $r = 3$.
- Explicit rule: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sixth term: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
Encuentre el 6º término de $4, 12, 36, \dots$.
- Razón: $12 \div 4 = 3$, por lo tanto es geométrica con $r = 3$.
- Regla explícita: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sexto término: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
An arithmetic sequence adds a common difference; a geometric sequence multiplies by a common ratio. Write either with an explicit rule (jump to any term) or a recursive rule (build from the previous term). Geometric growth eventually overtakes arithmetic.
Una secuencia aritmética suma una diferencia común; una secuencia geométrica multiplica por una razón común. Escríbala con una regla explícita (saltar a cualquier término) o una regla recursiva (construir a partir del término anterior). El crecimiento geométrico eventualmente supera al aritmético.