Representing and Analyzing SHM · Representación y análisis del MHS
| English | Español |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitud |
| phase/feɪz/ | de fase |
Drawing the wobble
- Trace a bobbing mass over time and you get a smooth wave on the graph.
- The same S-curve describes springs, pendulums, and sound.
- Its height, speed, and steepness all follow from one equation.
- A single cosine captures the whole back-and-forth.
Dibujando el oscilamiento
- Si trazas la posición de una masa oscilante a lo largo del tiempo, obtienes una onda suave en la gráfica.
- La misma curva en forma de S describe resortes, péndulos y sonido.
- Su altura, velocidad e inclinación se derivan todas de una sola ecuación.
- Un único coseno captura todo el movimiento de ida y vuelta.
The position over time
- The displacement in SHM traces a cosine:
- $A$ is the amplitude 振幅, the maximum displacement.
- $\omega$ is the angular frequency and $\varphi$ the phase 相位, the starting point.
Posición en función del tiempo
- El desplazamiento en un MHS sigue una función coseno:
- $A$ es la amplitud, el desplazamiento máximo.
- $\omega$ es la frecuencia angular y $\varphi$ es la fase inicial, el punto de partida.
In $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, the symbol A stands for the ____. · En $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, el símbolo A representa la ____.
$A$ is the amplitude -- the largest displacement from equilibrium. · $A$ es la amplitud: el mayor desplazamiento desde el equilibrio.
Speed and acceleration follow
- Differentiate to get the velocity and acceleration:
- Maximum speed $v_{max} = A\omega$; maximum acceleration $a_{max} = A\omega^2$.
Velocidad y aceleración siguen
- Al derivar, obtenemos la velocidad y la aceleración:
- Velocidad máxima $v_{max} = A\omega$; aceleración máxima $a_{max} = A\omega^2$.
An oscillator has $A = 0.2\ \text{m}$ and · y $\omega = 4\ \text{rad/s}$. Its maximum speed (in m/s)? · Un oscilador tiene $A = 0.2\ \text{m}$ y $\omega = 4\ \text{rad/s}$. ¿Cuál es su velocidad máxima (en m/s)?
$v_{max} = A\omega = 0.2 \times 4 = 0.8\ \text{m/s}$.
For the same oscillator ($A = 0.2\ \text{m}$, $\omega = 4\ \text{rad/s}$), the maximum acceleration (in m/s²)? · Para el mismo oscilador ($A = 0.2\ \text{m}$, $\omega = 4\ \text{rad/s}$), ¿cuál es la aceleración máxima (en m/s²)?
$a_{max} = A\omega^2 = 0.2 \times 16 = 3.2\ \text{m/s}^2$.
Opposite extremes
- Speed is greatest at equilibrium (where $x = 0$) and zero at the ends.
- Acceleration is greatest at the ends and zero at equilibrium.
- So $x$ and $a$ are perfectly out of step, while $v$ runs a quarter-cycle ahead.
Extremos opuestos
- La velocidad es máxima en el equilibrio (donde $x = 0$) y cero en los extremos.
- La aceleración es máxima en los extremos y cero en el equilibrio.
- Por tanto, $x$ y $a$ están perfectamente desfasados, mientras que $v$ va un cuarto de ciclo por delante.
SHM as a sine wave · MHS como una onda senoidal
The displacement of a simple harmonic oscillator traces a cosine curve in time. · El desplazamiento de un oscilador armónico simple traza una curva coseno en el tiempo.
Where in the motion is the speed greatest? · ¿Dónde en el movimiento es mayor la velocidad?
Speed peaks where $x = 0$ (the middle) and is zero at the ends. · La velocidad alcanza su máximo donde $x = 0$ (el centro) y es cero en los extremos.
In SHM, displacement and acceleration are exactly out of step (opposite phase). · En el MHS, el desplazamiento y la aceleración están exactamente desfasados (en fase opuesta).
$a = -\omega^2 x$, so $a$ is always opposite to $x$. · $a = -\omega^2 x$, por lo que $a$ siempre es opuesta a $x$.
An oscillator has $A = 0.1\ \text{m}$ and $\omega = 5\ \text{rad/s}$.
- Max speed: $v_{max} = A\omega = 0.1 \times 5 = 0.5\ \text{m/s}$, reached at the middle.
- Max acceleration: $a_{max} = A\omega^2 = 0.1 \times 25 = 2.5\ \text{m/s}^2$, reached at the ends.
Un oscilador tiene $A = 0.1\ \text{m}$ y $\omega = 5\ \text{rad/s}$.
- Velocidad máxima: $v_{max} = A\omega = 0.1 \times 5 = 0.5\ \text{m/s}$, alcanzada en el centro.
- Aceleración máxima: $a_{max} = A\omega^2 = 0.1 \times 25 = 2.5\ \text{m/s}^2$, alcanzada en los extremos.
A mass released from rest at the far end is best described using... · Una masa liberada desde el reposo en el extremo más lejano se describe mejor usando...
At $t = 0$ the displacement is maximum, which cosine gives with $\varphi = 0$. · En $t = 0$ el desplazamiento es máximo, lo cual proporciona el coseno con $\varphi = 0$.
Do not swap where speed and acceleration peak -- they sit at opposite places: speed is largest in the middle, acceleration largest at the extremes. If the motion starts at the far end, use cosine ($\varphi = 0$); if it starts at equilibrium moving outward, use sine. And $\omega$ here is in rad/s, not the frequency $f$.
No confunda dónde alcanzan su valor máximo la velocidad y la aceleración — se sitúan en lugares opuestos: la velocidad es mayor en el centro, la aceleración en los extremos. Si el movimiento comienza en el extremo más alejado, use coseno ($\varphi = 0$); si comienza en el equilibrio moviéndose hacia afuera, use seno. Además, $\omega$ aquí está en rad/s, no en la frecuencia $f$.
SHM is one cosine: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, with amplitude $A$ and phase $\varphi$. Its derivatives give $v_{max} = A\omega$ (at equilibrium) and $a_{max} = A\omega^2$ (at the extremes). Displacement and acceleration are exactly out of step, and velocity leads position by a quarter cycle.
El MHS es un único coseno: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, con amplitud $A$ y fase $\varphi$. Sus derivadas dan $v_{max} = A\omega$ (en el equilibrio) y $a_{max} = A\omega^2$ (en los extremos). El desplazamiento y la aceleración están exactamente desfasados, y la velocidad adelanta a la posición un cuarto de ciclo.