Energy of Simple Harmonic Oscillators · Energía de osciladores armónicos simples
| English | Español |
|---|---|
| potential energy/pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energía potencial |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | energía cinética |
The endless trade
- A swing slows to a stop at the top, then rushes fastest through the bottom.
- Nothing is lost -- the motion just keeps swapping form.
- Stretch is stored; speed is spent; back and forth forever.
- Two stores hand the same total to and fro.
El intercambio sin fin
- Un columpio frena al detenerse en la parte superior, luego se precipita más rápido a través del fondo.
- Nada se pierde; el movimiento simplemente sigue intercambiando de forma.
- La extensión se almacena; la velocidad se gasta; hacia adelante y hacia atrás para siempre.
- Dos depósitos entregan el mismo total de un lado a otro.
Two stores in a spring
- The spring holds potential energy 势能 $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
- The mass carries kinetic energy 动能 $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
- As it oscillates, energy pours from one into the other.
Dos depósitos en un resorte
- El resorte posee energía potencial $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
- La masa transporta energía cinética $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
- A medida que oscila, la energía fluye de uno a otro.
A spring with $k = 100\ \text{N/m}$ is displaced $x = 0.1\ \text{m}$. Its stored potential energy (in J)? · Un resorte con $k = 100\ \text{N/m}$ se desplaza $x = 0.1\ \text{m}$. ¿Cuál es su energía potencial almacenada (en J)?
$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.1)^2 = 0.5\ \text{J}$.
The total never changes
- Add them and the total stays fixed:
- At the ends it is all potential (speed zero); at the middle it is all kinetic.
- The amplitude alone sets the total.
El total nunca cambia
- Si los sumas, el total permanece fijo:
- En los extremos es toda potencial (velocidad cero); en el centro es toda cinética.
- Solo la amplitud determina el total.
A spring with $k = 100\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A = 0.2\ \text{m}$. Its total energy (in J)? · Un resorte con $k = 100\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0.2\ \text{m}$. ¿Cuál es su energía total (en J)?
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.2)^2 = 2\ \text{J}$.
At which point is the oscillator's energy entirely kinetic? · ¿En qué punto la energía del oscilador es puramente cinética?
At equilibrium $x = 0$ so $U = 0$ and all the energy is kinetic. · En el equilibrio $x = 0$, por lo que $U = 0$ y toda la energía es cinética.
Cashing energy for speed
- At equilibrium every bit is kinetic, so:
- This recovers $v_{max} = A\omega$, since $\omega^2 = k/m$.
- Double the amplitude and you get four times the energy, twice the top speed.
Cambiando energía por velocidad
- En el equilibrio, cada fracción es cinética, por lo tanto:
- Esto recupera $v_{max} = A\omega$, dado que $\omega^2 = k/m$.
- Duplicar la amplitud te da cuatro veces la energía y el doble de la velocidad máxima.
Energy of an oscillator · Energía de un oscilador
Over a cycle, energy shifts between kinetic and potential while the total stays fixed. · A lo largo de un ciclo, la energía se transfiere entre cinética y potencial mientras el total permanece fijo.
A spring with $k = 200\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A = 0.05\ \text{m}$.
- Total energy: $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0.05)^2 = 0.25\ \text{J}$.
- It is all kinetic at the middle and all potential at the ends.
Un resorte con $k = 200\ \text{N/m}$ oscila con una amplitud $A = 0.05\ \text{m}$.
- Energía total: $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0.05)^2 = 0.25\ \text{J}$.
- Es toda cinética en el centro y toda potencial en los extremos.
If you double the amplitude of an oscillator, its total energy... · Si duplicas la amplitud de un oscilador, su energía total...
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2$, so $2^2 = 4$ times the energy. · $E = \tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2$, así que $2^2 = 4$ veces la energía.
Kinetic and potential energy can both reach their maximum at the same instant. · La energía cinética y potencial pueden alcanzar sus máximos al mismo instante.
Each is largest where the other is zero -- they are never both maximal. · Cada una es máxima donde la otra es cero; nunca son ambas máximas simultáneamente.
In a real oscillator with friction, over time the amplitude... · En un oscilador real con fricción, a lo largo del tiempo la amplitud...
Friction drains energy, so the amplitude decays -- this is damping. · La fricción disipa energía, por lo que la amplitud decae; esto es amortiguamiento.
The energy goes as amplitude squared ($E = \tfrac{1}{2}kA^2$), so doubling $A$ quadruples the energy, not doubles it. Kinetic and potential energy are each largest where the other is zero, never both at once. And "the total stays constant" assumes no friction or drag -- a real oscillator slowly loses energy and its amplitude decays (damping).
La energía varía según la amplitud al cuadrado ($E = \tfrac{1}{2}kA^2$), por lo que al duplicar $A$ la energía se cuadruplica, no se duplica. La energía cinética y potencial son máximas donde la otra es cero, nunca ambas a la vez. Y "el total se mantiene constante" asume que no hay fricción ni resistencia aerodinámica; un oscilador real pierde lentamente energía y su amplitud decae (amortiguamiento).
An oscillator's energy trades between potential energy $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ and kinetic energy $K = \tfrac{1}{2}mv^2$, with a fixed total $E = \tfrac{1}{2}kA^2$. It is all potential at the extremes and all kinetic at equilibrium, giving $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$. Because $E \propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.
La energía de un oscilador se intercambia entre energía potencial $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ y energía cinética $K = \tfrac{1}{2}mv^2$, con un total fijo $E = \tfrac{1}{2}kA^2$. Es toda potencial en los extremos y toda cinética en el equilibrio, lo que da $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$. Debido a que $E \propto A^2$, duplicar la amplitud cuadruplica la energía.