Motion in Two or Three Dimensions · Movimiento en dos o tres dimensiones
| English | Español |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independientes |
| projectile motion/prəˈdʒektaɪl ˈməʊʃn/ | movimiento de proyectiles |
A thrown ball does two things at once
- Throw a ball forward and it sails ahead and falls to the ground.
- Amazingly, these two motions do not interfere -- they happen side by side.
- Drop one ball and throw another horizontally: they hit the floor at the same time.
- Splitting motion into independent directions is the key to two dimensions.
Una pelota lanzada hace dos cosas a la vez
- Lanza una pelota hacia adelante y esta avanza y cae al suelo simultáneamente.
- Sorprendentemente, estos dos movimientos no se interfieren entre sí; ocurren uno al lado del otro.
- Deja caer una pelota y lanza otra horizontalmente: ambas tocan el piso al mismo tiempo.
- Descomponer el movimiento en direcciones independientes es la clave para entender los dos dimensiones.
Components are independent
- Horizontal and vertical motion are independent 独立的 -- each obeys its own equations.
- Gravity pulls only down, so it changes the vertical motion but not the horizontal.
- Solve each direction as its own 1-D problem, then combine.
Los componentes son independientes
- El movimiento horizontal y vertical son independientes; cada uno obedece sus propias ecuaciones.
- La gravedad solo tira hacia abajo, por lo que cambia el movimiento vertical pero no el horizontal.
- Resuelve cada dirección como un problema 1-D independiente y luego combínalos.
A ball dropped from a height and one thrown horizontally from the same height hit the ground at the same time. · Una bola que se deja caer desde una altura y otra que es lanzada horizontalmente desde la misma altura tocan el suelo al mismo tiempo.
Horizontal and vertical motion are independent -- both have the same vertical drop, so the same fall time. · El movimiento horizontal y el vertical son independientes; ambos tienen la misma caída vertical, por lo tanto, el mismo tiempo de caída.
Projectile motion
- Projectile motion 抛体运动 is the classic case: constant horizontal velocity, constant downward acceleration $g$.
- Horizontally: $x = v_x t$ (no acceleration).
- Vertically: it accelerates just like a dropped object.
Movimiento de proyectiles
- El movimiento de proyectiles es el caso clásico: velocidad horizontal constante y aceleración descendente constante $g$.
- Horizontalmente: $x = v_x t$ (sin aceleración).
- Verticalmente: acelera exactamente como un objeto que se deja caer.
A ball is thrown horizontally from a $5\ \text{m}$ table ($g = 10$). How long until it lands (in s)? · Una bola es lanzada horizontalmente desde una mesa de $5\ \text{m}$ ($g = 10$). ¿Cuánto tiempo tarda en caer (en s)?
Looking at the vertical direction, $5 = \tfrac{1}{2}(10)t^2$, so $t^2 = 1$ and · y $t = 1\ \text{s}$. The horizontal speed does not matter for the time. · Observando la dirección vertical, $5 = \tfrac{1}{2}(10)t^2$, por lo tanto $t^2 = 1$ y $t = 1\ \text{s}$. La velocidad horizontal no importa para el tiempo.
During projectile flight (ignoring air resistance), the horizontal velocity... · Durante el vuelo del proyectil (despreciando la resistencia del aire), la velocidad horizontal...
Gravity acts only vertically, so there is no horizontal acceleration -- $v_x$ is constant. · La gravedad actúa solo verticalmente, por lo que no hay aceleración horizontal -- $v_x$ es constante.
Vector kinematics
- In 2-D and 3-D, position, velocity, and acceleration are all vectors: $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$.
- Each component follows the same calculus chain, $x \to v_x \to a_x$.
- The full motion is just several 1-D motions bundled together.
Cinemática vectorial
- En 2-D y 3-D, la posición, la velocidad y la aceleración son todos vectores: $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$.
- Cada componente sigue la misma cadena de cálculo, $x \to v_x \to a_x$.
- El movimiento completo es simplemente varios movimientos 1-D agrupados.
Motion in two dimensions · Movimiento en dos dimensiones
Launch a projectile and see the horizontal and vertical motions play out independently. · Lanzar un proyectil y ver cómo se desarrollan independientemente los movimientos horizontal y vertical.
The horizontal and vertical parts of a projectile's motion share only the ____. · Las componentes horizontal y vertical del movimiento de un proyectil comparten únicamente el ____.
Time is the only shared variable; otherwise each direction is solved on its own. · El tiempo es la única variable compartida; de lo contrario, cada dirección se resuelve por separado.
Putting it together
- Find the time from one direction (often the vertical), then use it in the other.
- The horizontal range depends on both the launch speed and how long the projectile is in the air.
- Recombine the component velocities to get the true speed and direction.
Juntando todo
- Encuentra el tiempo desde una dirección (generalmente la vertical) y úsalo en la otra.
- El alcance horizontal depende tanto de la velocidad de lanzamiento como del tiempo que el proyectil pasa en el aire.
- Recombina las velocidades componentes para obtener la velocidad real y la dirección.
From that $5\ \text{m}$ table, the ball's horizontal speed is $4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. How far from the base does it land (in m)? · Desde esa mesa de $5\ \text{m}$, la velocidad horizontal de la bola es $4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. ¿A qué distancia de la base aterriza (en m)?
Using $t = 1\ \text{s}$ from before, $x = v_x t = 4 \times 1 = 4\ \text{m}$. · Usando $t = 1\ \text{s}$ del ejercicio anterior, $x = v_x t = 4 \times 1 = 4\ \text{m}$.
Select all · todos true statements about projectile motion. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre el movimiento de proyectiles.
The two directions are independent -- constant $v_x$, downward $g$ -- and do not affect each other. · Las dos direcciones son independientes -- $v_x$ constante, $g$ hacia abajo -- y no se afectan entre sí.
A ball is thrown horizontally at $5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ from a $20\ \text{m}$ cliff ($g = 10$).
- Vertical: $20 = \tfrac{1}{2}gt^2$ gives $t = 2\ \text{s}$ to land.
- Horizontal: $x = v_x t = 5 \times 2 = 10\ \text{m}$ from the base.
Se lanza una pelota horizontalmente a $5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ desde un acantilado de $20\ \text{m}$ ($g = 10$).
- Vertical: $20 = \tfrac{1}{2}gt^2$ da $t = 2\ \text{s}$ para aterrizar.
- Horizontal: $x = v_x t = 5 \times 2 = 10\ \text{m}$ desde la base.
The horizontal and vertical parts share only time. Do not mix a horizontal velocity into a vertical equation. The vertical motion decides when it lands; the horizontal motion decides how far -- keep them in separate columns.
Las partes horizontal y vertical comparten únicamente el tiempo. No mezcles una velocidad horizontal en una ecuación vertical. El movimiento vertical decide cuándo aterriza; el movimiento horizontal decide qué tan lejos -- mantenlos en columnas separadas.
In two dimensions, horizontal and vertical motion are independent and share only the time. Projectile motion has constant horizontal velocity and downward acceleration $g$. Treat $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ component by component -- each is its own 1-D problem, then recombine.
En dos dimensiones, el movimiento horizontal y vertical son independientes y comparten solo el tiempo. El movimiento de proyectiles tiene velocidad horizontal constante y aceleración descendente $g$. Trata $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ componente por componente — cada uno es su propio problema 1-D, y luego recómbralos.