Systems and Center of Mass · Sistemas y centro de masa
| English | Español |
|---|---|
| center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | centro de masa |
| system/ˈsɪstəm/ | sistema |
| internal forces/ɪnˈtɜːnl ˈfɔːsɪz/ | fuerzas internas |
| external forces/ekˈstɜːnl ˈfɔːsɪz/ | fuerzas externas |
| point particle/pɔɪnt ˈpɑːtɪkl/ | partícula puntual |
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | integral |
| net external force/net ekˈstɜːnl fɔːs/ | fuerza neta externa |
Throw a spinning wrench
- Toss a wrench across the room and it tumbles wildly -- yet one single point traces a smooth, simple arc.
- That special point is the center of mass 质心.
- No matter how an object spins or wobbles, its center of mass moves as if all the mass were squeezed into that one spot.
- Find it, and a messy tumbling problem becomes a simple point-mass problem.
Lanza una llave giratoria
- Lanza una llave a través de la habitación y esta gira caóticamente, pero un único punto traza un arco suave y sencillo.
- Ese punto especial es el centro de masa 质心.
- Independientemente de cómo gire o tambalee un objeto, su centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto.
- Al encontrarlo, un problema complejo de rotación se convierte en un problema simple de partícula puntual.
Treat a system as one point
- A system 系统 is any group of objects we choose to study together.
- Forces inside the system are internal forces 内力; forces from outside are external forces 外力.
- The whole system moves as if it were a single point particle 质点 located at its center of mass.
Tratar un sistema como un solo punto
- Un sistema 系统 es cualquier grupo de objetos que elegimos estudiar juntos.
- Las fuerzas dentro del sistema son fuerzas internas 内力; las fuerzas desde el exterior son fuerzas externas 外力.
- Todo el sistema se mueve como si fuera una única partícula puntual 质点 ubicada en su centro de masa.
Select all · todos true statements about the center of mass. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre el centro de masa.
The first two are the core rules. The third is false -- it is the mass · masa-weighted center, not the shape's midpoint. · Las dos primeras son las reglas fundamentales. La tercera es falsa: es el centro ponderado por masa, no el punto medio de la forma.
Center of mass of discrete masses
- For separate point masses along a line, the center of mass is the mass-weighted average position:
- Heavier masses pull the center of mass toward themselves.
Centro de masa de masas discretas
- Para masas puntuales separadas a lo largo de una línea, el centro de masa es la posición promedio ponderada por masa:
- Las masas más pesadas atraen el centro de masa hacia sí mismas.
A $1\ \text{kg}$ mass is at $x = 0$ and a $3\ \text{kg}$ mass is at $x = 4\ \text{m}$. Where is the center of mass (in m)? · Una masa de $1\ \text{kg}$ está en $x = 0$ y una masa de $3\ \text{kg}$ está en $x = 4\ \text{m}$. ¿Dónde está el centro de masa (en m)?
$x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- close to the heavier mass. · $x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- cerca de la masa más pesada.
Move one mass farther from the others. The center of mass... · Mueve una masa más lejos de las demás. El centro de masa...
The mass-weighted average follows the mass -- moving a mass out pulls $x_{cm}$ toward it. · El promedio ponderado por masa sigue a la masa: mover una masa hacia afuera tira de $x_{cm}$ hacia ella.
Masses $2\ \text{kg}$ at $x=0$, $2\ \text{kg}$ at $x=2$, and $4\ \text{kg}$ at $x=5$. Find $x_{cm}$ (in m). · Masas de $2\ \text{kg}$ en $x=0$, $2\ \text{kg}$ en $x=2$, y $4\ \text{kg}$ en $x=5$. Encuentra $x_{cm}$ (en m).
$x_{cm} = \dfrac{2(0)+2(2)+4(5)}{2+2+4} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{m}$.
Center of mass by integration
- For a continuous object, replace the sum with an integral 积分 over its mass:
- Slice the object into tiny bits $dm$, weight each by its position, and add them up.
Centro de masa mediante integración
- Para un objeto continuo, reemplazamos la suma con una integral 积分 sobre su masa:
- Dividimos el objeto en pequeños fragmentos $dm$, ponderamos cada uno por su posición y los sumamos.
Centre of mass of a system · Centro de masa de un sistema
Tap the parts to see where the centre of mass of a two-body system sits. · Toca las partes para ver dónde se sitúa el centro de masa de un sistema de dos cuerpos.
For a continuous body the sum in the center-of-mass formula becomes an ____. · Para un cuerpo continuo, la suma en la fórmula del centro de masa se convierte en un ____.
$x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- an integral over the mass distribution. · $x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- una integral sobre la distribución de masa.
Only external forces move it
- The center of mass accelerates only in response to the net external force 净外力.
- Internal forces -- however violent -- can never shift the center of mass.
- That is why the tumbling wrench's center of mass follows the same smooth path a simple thrown ball would.
Solo las fuerzas externas lo mueven
- El centro de masa acelera solo en respuesta a la fuerza externa neta 净外力.
- Las fuerzas internas, por violentas que sean, nunca pueden desplazar el centro de masa.
- Por eso el centro de masa de la llave giratoria sigue la misma trayectoria suave que seguiría una pelota lanzada simplemente.
A hidden explosion inside a floating system (no outside forces) can shift its center of mass. · Una explosión oculta dentro de un sistema flotante (sin fuerzas externas) puede desplazar su centro de masa.
Explosion forces are internal, so they cannot move the center of mass. Only a net external force can. · Las fuerzas de la explosión son internas, por lo que no pueden mover el centro de masa. Solo una fuerza externa neta puede hacerlo.
A $2\ \text{kg}$ mass sits at $x = 0$ and a $4\ \text{kg}$ mass at $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- The center of mass sits closer to the heavier $4\ \text{kg}$ mass, as expected.
Una masa de $2\ \text{kg}$ está en $x = 0$ y una masa de $4\ \text{kg}$ está en $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- El centro de masa queda más cerca de la masa más pesada de $4\ \text{kg}$, como era de esperarse.
The center of mass is not always the geometric center. For a uniform rod it is the middle, but load one end and the center of mass shifts toward the heavy end -- it is the mass-weighted average, not the shape's midpoint.
El centro de masa no siempre es el centro geométrico. En una barra uniforme, lo es (el medio), pero si cargas un extremo, el centro de masa se desplaza hacia ese extremo pesado —es el promedio ponderado por masa, no el punto medio de la forma.
The center of mass is the mass-weighted average position: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (or $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ for a continuous body). A whole system moves as if all its mass were at that point, and only the net external force can accelerate it.
El centro de masa es la posición promedio ponderada por masa: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (o $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ para un cuerpo continuo). Un sistema entero se mueve como si toda su masa estuviera en ese punto, y solo la fuerza externa neta puede acelerarlo.