Radius and Interval of Convergence of Power Series · Radio e intervalo de convergencia de series de potencias
| English | Español |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | serie de potencias |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | radio de convergencia |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalo de convergencia |
Where does a power series make sense?
- A power series 幂级数 is an infinite polynomial: $\sum c_n(x-a)^n$ — like a Taylor series with variable $x$.
- It converges for some $x$ and diverges for others. Which $x$?
- The answer is an interval centered at $a$, measured by the radius of convergence 收敛半径 $R$.
- Finding $R$ and the exact endpoints is the goal.
¿Dónde tiene sentido una serie de potencias?
- Una serie de potencias 幂级数 es un polinomio infinito: $\sum c_n(x-a)^n$ — similar a una serie de Taylor con variable $x$.
- Converge para ciertos valores de $x$ y diverge para otros. ¿Para cuáles $x$?
- La respuesta es un intervalo centrado en $a$, determinado por el radio de convergencia 收敛半径 $R$.
- Encontrar $R$ y los extremos exactos es el objetivo.
The radius of convergence
- A power series converges for $|x-a|
- $R$ is the radius: the series converges within distance $R$ of the center $a$.
- Three possibilities: $R=0$ (only at $a$), $R=\infty$ (all $x$), or a finite $R$.
- Find $R$ with the Ratio Test on the terms of the series.
El radio de convergencia
- Una serie de potencias converge cuando $|x-a|
- $R$ es el radio: la serie converge dentro de una distancia $R$ del centro $a$.
- Hay tres posibilidades: $R=0$ (solo en $a$), $R=\infty$ (para todo $x$) o un valor finito de $R$.
- Calcule $R$ mediante la Prueba de la Razón aplicada a los términos de la serie.
The interval of convergence · El intervalo de convergencia
A power series converges within radius $R$ of its center — the interval runs from $a-R$ to · hasta $a+R$, endpoints checked separately. · Una serie de potencias converge dentro de un radio $R$ respecto a su centro; el intervalo va desde $a-R$ hasta $a+R$, y los extremos se verifican por separado.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for... · Una serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ converge para...
Within radius $R$ of the center $a$. · Dentro del radio $R$ del centro $a$.
The radius of convergence $R$ can be... · El radio de convergencia $R$ puede ser...
A radius is never negative. · Un radio nunca es negativo.
Getting R from the Ratio Test
- Apply the Ratio Test: set $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ and solve for $|x-a|$.
- That inequality has the form $|x-a|
- The center is $a$; the interval runs from $a-R$ to $a+R$.
- The ratio test does the heavy lifting — the algebra just isolates $|x-a|$.
Obtener R usando la Prueba de la Razón
- Aplique la Prueba de la Razón: establezca $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ y resuelva para $|x-a|$.
- Esa desigualdad tiene la forma $|x-a|
- El centro es $a$; el intervalo va desde $a-R$ hasta $a+R$.
- La prueba de la razón realiza el trabajo principal; el álgebra simplemente aísla $|x-a|$.
For · A favor $\sum\tfrac{x^n}{n}$, the Ratio Test gives $|x|<1$. What is $R$? · Para $\sum\tfrac{x^n}{n}$, la Prueba de la Razón da $|x|<1$. ¿Cuál es $R$?
$R=1$.
The radius of convergence is typically found using the... · El radio de convergencia generalmente se encuentra usando la...
The Ratio Test on the terms reveals $|x-a|
Check the endpoints separately
- The Ratio Test is inconclusive at the endpoints $x=a\pm R$ (there $L=1$).
- So test each endpoint individually by plugging it in and using another series test.
- The interval of convergence 收敛区间 may include neither, one, or both endpoints.
- Write the interval with the correct open/closed brackets after checking both ends.
Verifique los extremos por separado
- La Prueba de la Razón es inconclusiva en los extremos $x=a\pm R$ (allí $L=1$).
- Por lo tanto, pruebe cada extremo individualmente sustituyéndolo y usando otra prueba para series.
- El intervalo de convergencia 收敛区间 puede incluir ninguno, uno o ambos extremos.
- Escriba el intervalo con los corchetes abiertos o cerrados correctos después de verificar ambos extremos.
The Ratio Test is inconclusive at the endpoints, which must be tested separately. · La Prueba de la Razón no concluye en los extremos, los cuales deben probarse por separado.
At $x=a\pm R$, $L=1$; use another test. · En $x=a\pm R$, $L=1$; use otra prueba.
For · A favor $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ diverges, $x=-1$ converges. The interval of convergence is... · Para $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ diverge, $x=-1$ converge. El intervalo de convergencia es...
Include $-1$ (converges), exclude $1$ (diverges). · Incluir $-1$ (converge), excluir $1$ (diverge).
The Ratio Test gives the radius but is inconclusive at the endpoints — you must test $x=a-R$ and $x=a+R$ separately (they can converge or diverge independently). Don't assume the interval is open or closed; the answer might be $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Check both ends every time.
La Prueba de la Razón proporciona el radio, pero es inconclusiva en los extremos; debe probar $x=a-R$ y $x=a+R$ por separado (pueden converger o divergir independientemente). No asuma que el intervalo sea abierto o cerrado; la respuesta podría ser $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Verifique siempre ambos extremos.
Find the radius and interval of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Ratio Test: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, so $R=1$.
- Endpoints: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverges); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converges).
- Interval of convergence: $[-1,1)$.
Encuentre el radio y el intervalo de convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Prueba de la Razón: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, por lo tanto $R=1$.
- Extremos: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverge); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converge).
- Intervalo de convergencia: $[-1,1)$.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $|x-a|
Una serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $|x-a|