Finding Taylor or Maclaurin Series for a Function · Encontrar series de Taylor o Maclaurin para una función
| English | Español |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | serie de Taylor |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Series de Maclaurin |
The polynomial that never stops
- A Taylor polynomial stops at degree $n$. Let it run forever and you get a Taylor series 泰勒级数.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — the infinite version, exactly representing $f$ where it converges.
- Centered at $0$, it's a Maclaurin series 麦克劳林级数.
- A handful of these are worth knowing by heart.
El polinomio que nunca termina
- Un polinomio de Taylor se detiene en el grado $n$. Si lo haces correr infinitamente, obtienes una serie de Taylor 泰勒级数.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — la versión infinita, que representa exactamente a $f$ donde converge.
- Cuando está centrado en $0$, es una serie de Maclaurin 麦克劳林级数.
- Es recomendable saber de memoria algunos de estos casos.
A Taylor series centered at $0$ is called a ____ series. · Una serie de Taylor centrada en $0$ se llama serie ____.
Maclaurin = Taylor centered at $0$. · Maclaurin = Taylor centrada en $0$.
The must-know Maclaurin series
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (the geometric series, $|x|<1$).
Series de Maclaurin esenciales
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (la serie geométrica, para $|x|<1$).
cos x from its series · cos x desde su serie
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — even powers, alternating signs, factorial denominators. · $\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — potencias pares, signos alternos, denominadores factoriales.
The Maclaurin series for $e^x$ is... · La serie de Maclaurin para $e^x$ es...
All powers, coefficients $\tfrac1{n!}$, no alternation. · Todas las potencias, coeficientes $\tfrac1{n!}$, sin alternación.
The series for $\dfrac{1}{1-x}$ (with $|x|<1$) is... · La serie para $\dfrac{1}{1-x}$ (con $|x|<1$) es...
The geometric series $1+x+x^2+\cdots$. · La serie geométrica $1+x+x^2+\cdots$.
Building one from scratch
- Compute $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ and plug into $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, term by term.
- Look for the pattern in the derivatives to write the general $n$th term.
- The known series above are usually derived once then reused — memorize them.
- The general term is what makes it a series, not just a few terms.
Construyéndola desde cero
- Calcula $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ y sustitúyelos en $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, término por término.
- Busca el patrón en las derivadas para escribir el término general $n$-ésimo.
- Las series conocidas anteriores suelen derivarse una vez y luego reutilizarse; memórizalas.
- Es el término general lo que convierte al conjunto en una serie, no solo en unos pocos términos.
Using $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, estimate $\cos(0.2)$. · Usando $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, estima $\cos(0.2)$.
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ and $\cos$ share a family
- Notice $\sin x$ uses odd powers and $\cos x$ uses even powers — and both alternate sign.
- $e^x$ has every power with all-positive coefficients $\tfrac1{n!}$.
- These patterns let you write out terms quickly and spot which series a problem wants.
- Recognizing the family is half the battle on the exam.
$\sin$ y $\cos$ comparten familia
- Observa que $\sin x$ utiliza potencias impares y $\cos x$ utiliza potencias pares —y ambos alternan signo—.
- $e^x$ tiene todas las potencias con coeficientes todos positivos $\tfrac1{n!}$.
- Estos patrones te permiten escribir los términos rápidamente e identificar qué serie necesita un problema.
- Reconocer la familia es la mitad de la batalla en el examen.
The Maclaurin series for $\sin x$ uses... · La serie de Maclaurin para $\sin x$ usa...
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (odd, alternating). · $\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (impares, alternadas).
The denominators in these standard series are factorials. · Los denominadores en estas series estándar son factoriales.
The · El $n$th term has $n!$ (or $(2n)!$, $(2n+1)!$). · El término $n$-ésimo tiene $n!$ (o $(2n)!$, $(2n+1)!$).
Keep the factorials and the sign pattern straight: $\sin x$ has odd powers $x^{2n+1}$ (starts with $x$), $\cos x$ has even powers $x^{2n}$ (starts with $1$), both alternating; $e^x$ has all powers, no alternation. Mixing up odd/even or dropping the $(-1)^n$ is the classic slip.
Mantén claras las factoriales y el patrón de signos: $\sin x$ tiene potencias impares $x^{2n+1}$ (empieza con $x$), $\cos x$ tiene potencias pares $x^{2n}$ (empieza con $1$), ambos alternando; $e^x$ tiene todas las potencias, sin alternación. Confundir impar/par u omitir el $(-1)^n$ es el error clásico.
Write the Maclaurin series for $\cos x$ and use it to approximate $\cos(0.2)$ to two terms.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- Two terms at $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- True $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
Escribe la serie de Maclaurin para $\cos x$ y úsala para aproximar $\cos(0.2)$ con dos términos.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- Dos términos en $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- Valor real $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
A Taylor series is the infinite $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$; centered at $0$ it's a Maclaurin series. Memorize $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\frac{1}{1-x}$. Watch the factorials and sign patterns: $\sin$ = odd powers, $\cos$ = even powers, both alternating; $e^x$ = all powers, no alternation.
Una serie de Taylor es la suma infinita $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$; si está centrada en $0$, es una serie de Maclaurin. Memoriza $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\frac{1}{1-x}$. Presta atención a las factoriales y a los patrones de signos: $\sin$ = potencias impares, $\cos$ = potencias pares, ambos alternando; $e^x$ = todas las potencias, sin alternación.