Representing Functions as Power Series · Representar funciones como series de potencias
| English | Español |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | serie de potencias |
Reusing known series to build new ones
- You don't have to compute every Taylor series from derivatives. Manipulate the ones you know.
- Start from the geometric series $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ or the $e^x,\sin,\cos$ series.
- Substitute, multiply, differentiate, or integrate to represent a new function as a power series 幂级数.
- It's algebra on series — fast and clever.
Reutilizar series conocidas para construir nuevas
- No es necesario calcular cada serie de Taylor desde las derivadas. Manipule las que ya conoce.
- Comience con la serie geométrica $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ o con las series de $e^x,\sin,\cos$.
- Sustituya, multiplique, diferencie o integre para representar una nueva función como una serie de potencias.
- Es álgebra sobre series: rápido y astuto.
Substitution and multiplication
- Substitute an expression for $x$: replace $x$ with $-x^2$ in $\frac1{1-x}$ to get $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multiply a series by a power of $x$ or a constant: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Each move keeps a valid power series (adjust the interval of convergence for substitutions).
- No new derivatives needed — just plug and combine.
Sustitución y multiplicación
- Sustituya una expresión por $x$: reemplace $x$ por $-x^2$ en $\frac1{1-x}$ para obtener $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multiplique una serie por una potencia de $x$ o una constante: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Cada movimiento mantiene una serie de potencias válida (ajuste el intervalo de convergencia para las sustituciones).
- No se necesitan nuevas derivadas; solo sustituya y combine.
Built from the geometric series · Construidas a partir de la serie geométrica
y = a / (1 − b·x)
Substituting $-x^2$ into · dentro de $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ builds the series for $\tfrac{1}{1+x^2}$ — no new derivatives needed. · Sustituir $-x^2$ en $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ construye la serie para $\tfrac{1}{1+x^2}$ — sin necesidad de nuevas derivadas.
Substituting $u=-x^2$ into · dentro de $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ gives $\tfrac{1}{1+x^2}=$ · Sustituir $u=-x^2$ en $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ da $\tfrac{1}{1+x^2}=$
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
Which moves generate new power series from known ones? · ¿Qué movimientos generan nuevas series de potencias a partir de conocidas?
Substitute, scale/multiply, differentiate, integrate — not random reordering. · Sustituir, escalar/multiplicar, diferenciar, integrar — no reordenamiento aleatorio.
Differentiating and integrating term by term
- Inside its interval of convergence, a power series can be differentiated or integrated term by term.
- Integrate $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ to get $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Differentiate a series to get the series of the derivative.
- These moves generate famous series (like $\arctan$ and $\ln(1+x)$) from simpler ones.
Diferenciación e integración término a término
- Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias puede ser diferenciada o integrada término a término.
- Integre $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ para obtener $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Diferencie una serie para obtener la serie de su derivada.
- Estos movimientos generan series famosas (como $\arctan$ y $\ln(1+x)$) a partir de otras más simples.
Within its interval of convergence, a power series can be differentiated and integrated term by term. · Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias puede diferenciarse e integrarse término a término.
A valid move inside the interval of convergence. · Un movimiento válido dentro del intervalo de convergencia.
Integrating $\sum(-1)^n x^{2n}$ term by term gives the series for... · Integrar $\sum(-1)^n x^{2n}$ término a término da la serie para...
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
A powerful toolkit
- Substitute, scale, multiply, differentiate, integrate — five moves, endless new series.
- This is often far faster than computing high derivatives directly.
- The new series inherits (roughly) the radius of convergence of the one you started from.
- Recognizing which move to apply is the real skill.
Un conjunto de herramientas poderoso
- Sustituir, escalar, multiplicar, diferenciar, integrar: cinco movimientos, infinitas series nuevas.
- Esto suele ser mucho más rápido que calcular derivadas altas directamente.
- La nueva serie hereda (aproximadamente) el radio de convergencia de la serie original.
- Reconocer qué movimiento aplicar es la verdadera habilidad.
Integrating a power series term by term introduces a constant ____, fixed by a known value. · Integrar una serie de potencias término a término introduce una constante ____, fija por un valor conocido.
E.g. $\arctan 0=0$ fixes $C=0$. · Ej. $\arctan 0=0$ fija $C=0$.
Substituting $x\to -x^2$ can change the interval of convergence. · Sustituir $x\to -x^2$ puede cambiar el intervalo de convergencia.
Re-derive the interval in the new variable. · Re-derivar el intervalo en la nueva variable.
Term-by-term differentiation and integration are valid only within the interval of convergence (and integrating adds a $+C$ — pin it down with a known value, e.g. $\arctan 0=0$). When you substitute (like $x\to -x^2$), the interval of convergence changes too — re-derive it from the new variable.
La diferenciación e integración término a término son válidas solo dentro del intervalo de convergencia (y la integración añade un $+C$; fíjelo con un valor conocido, p. ej., $\arctan 0=0$). Cuando sustituye (como $x\to -x^2$), el intervalo de convergencia también cambia; vuelva a derivarlo desde la nueva variable.
Find a power series for $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Start from $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ and substitute $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (for $|x|<1$).
Encuentre una serie de potencias para $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Comience con $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ y sustituya $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (para $|x|<1$).
To represent a function as a power series, manipulate a known series: substitute, multiply/scale, or differentiate/integrate term by term (valid within the interval of convergence; integration adds $+C$). E.g. substituting into $\frac{1}{1-x}$ and integrating yields the series for $\frac{1}{1+x^2}$ and $\arctan x$.
Para representar una función como una serie de potencias, manipule una serie conocida: sustituya, multiplique/escale, o diferencie/integre término a término (válido dentro del intervalo de convergencia; la integración añade $+C$). Ej.: sustituyendo en $\frac{1}{1-x}$ e integrando se obtiene la serie para $\frac{1}{1+x^2}$ y $\arctan x$.