Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · Encontrar Aproximaciones de Polinomios de Taylor
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|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomio de Taylor |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomio de Maclaurin |
Approximating a function with a polynomial
- Linearization (Unit 4) used a tangent line to approximate a function. Why stop at a line?
- A Taylor polynomial 泰勒多项式 matches a function's value and several derivatives at a point.
- The more derivatives it matches, the better it hugs the curve nearby.
- Polynomials are easy to compute, so they're a powerful stand-in for messy functions.
Aproximación de una función con un polinomio
- La linealización (Unidad 4) utilizó una recta tangente para aproximar una función. ¿Por qué detenerse en una línea?
- Un polinomio de Taylor coincide con el valor de la función y con varias de sus derivadas en un punto.
- Cuantas más derivadas coincidan, mejor se ajustará a la curva cerca de ese punto.
- Los polinomios son fáciles de calcular, por lo que constituyen una sustitución poderosa para funciones complejas.
Building the polynomial
- Centered at $x=a$, the $n$th-degree Taylor polynomial is:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Each term uses the $k$th derivative at $a$, divided by $k!$, times $(x-a)^k$.
- The degree-$1$ piece is exactly the linearization; higher terms add curvature.
Construcción del polinomio
- Centrado en $x=a$, el polinomio de Taylor de grado $n$ es:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Cada término utiliza la $k$-ésima derivada evaluada en $a$, dividida por $k!$, multiplicada por $(x-a)^k$.
- El término de grado $1$ es exactamente la linealización; los términos superiores añaden curvatura.
The · El $k$th term of a Taylor polynomial centered at $a$ is... · El término $k$-ésimo de un polinomio de Taylor centrado en $a$ es...
Derivative at $a$, over $k!$, times $(x-a)^k$. · Derivada en $a$, sobre $k!$, por $(x-a)^k$.
Every derivative in a Taylor polynomial is evaluated at the ____ $a$. · Cada derivada en un polinomio de Taylor se evalúa en el ____ $a$.
Use $f^{(k)}(a)$, not $f^{(k)}(x)$. · Usar $f^{(k)}(a)$, no $f^{(k)}(x)$.
Maclaurin: centered at zero
- A Maclaurin polynomial 麦克劳林多项式 is just a Taylor polynomial centered at $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — the $(x-a)$ factors become plain $x^k$.
- Common ones are worth memorizing: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ have clean Maclaurin polynomials.
- Same recipe, centered at the origin.
Maclaurin: centrado en cero
- Un polinomio de Maclaurin es simplemente un polinomio de Taylor centrado en $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — los factores $(x-a)$ se convierten en $x^k$.
- Es recomendable memorizar los comunes: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ tienen polinomios de Maclaurin sencillos.
- Misma receta, pero centrada en el origen.
A Maclaurin polynomial is a Taylor polynomial centered at... · Un polinomio Maclaurin es un polinomio de Taylor centrado en...
Maclaurin = centered at $0$. · Maclaurin = centrado en $0$.
Better near the center
- The approximation is best near $x=a$ and gets worse as you move away.
- Adding more terms (higher degree) improves accuracy on a wider range.
- Match value, slope, concavity, and beyond — each derivative pins down one more feature.
- The tangent line is just the first two terms of this bigger idea.
Mejor cerca del centro
- La aproximación es más precisa cerca de $x=a$ y empeora a medida que nos alejamos.
- Añadir más términos (mayor grado) mejora la precisión en un rango más amplio.
- Al igualar el valor, la pendiente, la concavidad y más, cada derivada ajusta una característica adicional.
- La recta tangente es solo los dos primeros términos de esta idea más amplia.
A polynomial hugging eˣ · Un polinomio que abraza eˣ
y = a·e^{bx}
The degree-2 Maclaurin polynomial $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ hugs $e^x$ near $0$ — more terms widen the good range. · El polinomio Maclaurin de grado 2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ abraza a $e^x$ cerca de $0$ — más términos amplían el buen rango.
The degree-2 Maclaurin polynomial for $e^x$ is... · El polinomio Maclaurin de grado 2 para $e^x$ es...
All derivatives of $e^x$ at $0$ are $1$. · Todas las derivadas de $e^x$ en $0$ son $1$.
The Taylor term divides the $k$th derivative by $k!$ (a factorial). · El término de Taylor divide la derivada $k$-ésima por $k!$ (un factorial).
Divide by $k!$, not $k$. · Dividir entre $k!$, no entre $k$.
A Taylor polynomial approximation is most accurate... · Una aproximación mediante polinomio de Taylor es más precisa...
Accuracy is best near $a$ and improves with more terms. · La precisión es mejor cerca de $a$ y mejora con más términos.
Don't drop the factorials: the $k$th term is $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divide by $k!$, not just $k$. Evaluate every derivative at the center $a$ (not at $x$). And the approximation is only good near $a$; far away, a truncated Taylor polynomial can be wildly off.
No omitas los factoriales: el término $k$-ésimo es $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — divide por $k!$, no solo por $k$. Evalúa cada derivada en el centro $a$ (no en $x$). Y ten en cuenta que la aproximación solo es buena cerca de $a$; lejos de él, un polinomio de Taylor truncado puede dar resultados muy erróneos.
Find the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (since every derivative of $e^x$ is $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Near $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (e.g. $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Encuentra el polinomio de Maclaurin de grado $2$ para $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (ya que toda derivada de $e^x$ es $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Cerca de $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (p. ej., $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
A Taylor polynomial centered at $a$ is $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — matching the function's value and derivatives at $a$. A Maclaurin polynomial is the special case $a=0$. Keep the factorials, evaluate derivatives at $a$, and expect the best accuracy near the center.
Un polinomio de Taylor centrado en $a$ es $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — igualando el valor de la función y sus derivadas en $a$. Un polinomio de Maclaurin es el caso particular donde $a=0$. Conserva los factoriales, evalúa las derivadas en $a$ y espera mayor precisión cerca del centro.