Lagrange Error Bound · Cota de Error de Lagrange
| English | Español |
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| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | cota de error de Lagrange |
Bounding a Taylor polynomial's error
- A Taylor polynomial is only an approximation. How wrong can it be?
- The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 gives a guaranteed ceiling on the remainder.
- It uses the next derivative — the first one the polynomial didn't match.
- With it, you can prove an approximation is accurate to a required tolerance.
Acotar el error de un polinomio de Taylor
- Un polinomio de Taylor es solo una aproximación. ¿Qué tan erróneo puede ser?
- El límite del error de Lagrange 拉格朗日误差界 proporciona un techo garantizado para el resto.
- Utiliza la siguiente derivada: la primera que el polinomio no coincide.
- Con él, puedes demostrar que una aproximación cumple con una tolerancia requerida.
The bound
- The error of the degree-$n$ Taylor polynomial $P_n$ at $x$ satisfies:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Here $M$ is a maximum of $\big|f^{(n+1)}\big|$ on the interval between $a$ and $x$.
- It looks like the next Taylor term, but with the derivative replaced by its worst-case size $M$.
El límite
- El error del polinomio de Taylor de grado $n$, $P_n$, en $x$ satisface:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Aquí $M$ es un máximo de $\big|f^{(n+1)}\big|$ en el intervalo entre $a$ y $x$.
- Parece el siguiente término de Taylor, pero con la derivada reemplazada por su tamaño máximo $M$.
The gap the bound caps · El margen que acota la cota
y = a·e^{bx}
The Lagrange bound caps the gap between $e^x$ and its Taylor polynomial using the next derivative's maximum $M$. · La cota de Lagrange acota el margen entre $e^x$ y su polinomio de Taylor usando el máximo $M$ de la siguiente derivada.
The Lagrange error bound is $|R_n(x)|\le$ · La cota de error de Lagrange es $|R_n(x)|\le$
Uses the $(n+1)$th derivative bound and $(n+1)!$. · Usa la cota de la derivada $(n+1)$-ésima y $(n+1)!$.
Finding the pieces
- $(n+1)$: one more than the polynomial's degree — the first missing term's order.
- $M$: a bound on the $(n+1)$th derivative's absolute value between $a$ and $x$ (use the biggest it gets).
- $|x-a|^{n+1}$: the distance from the center, raised to that power.
- Multiply, divide by $(n+1)!$, and you have a guaranteed error ceiling.
Encontrando las piezas
- $(n+1)$: uno más que el grado del polinomio; el orden del primer término faltante.
- $M$: una cota sobre el valor absoluto de la derivada $(n+1)$-ésima entre $a$ y $x$ (usa el valor más grande que alcance).
- $|x-a|^{n+1}$: la distancia al centro, elevada a esa potencia.
- Multiplica, divide por $(n+1)!$ y obtendrás un techo garantizado para el error.
For a degree-$n$ polynomial, $M$ bounds which derivative? · Para un polinomio de grado-$n$, ¿qué derivada acota $M$?
One past the degree: the $(n+1)$th derivative. · Una más allá del grado: la derivada $(n+1)$-ésima.
In the bound, $M$ is... · En la cota, $M$ es...
A worst-case bound on the next derivative. · Una cota de caso adverso para la siguiente derivada.
Proving accuracy
- To show $P_n$ is within, say, $0.001$: compute the Lagrange bound and check it's $\le 0.001$.
- Because the bound overestimates the true error, if the bound is small, the real error is smaller.
- Larger $n$ shrinks the bound (bigger factorial, more accuracy).
- It's the rigorous companion to Taylor approximation.
Demostrando precisión
- Para mostrar que $P_n$ está dentro, digamos, de $0.001$: calcula el límite de Lagrange y verifica que sea $\le 0.001$.
- Dado que el límite sobreestima el error real, si el límite es pequeño, el error real lo es aún más.
- Un $n$ mayor reduce el límite (factorial más grande, mayor precisión).
- Es el complemento riguroso a la aproximación de Taylor.
With $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (a decimal) · Con $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (un decimal)
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
The Lagrange bound is a guaranteed ceiling, usually larger than the actual error. · La cota de Lagrange es un techo garantizado, generalmente mayor que el error real.
If the bound is small, the true error is smaller. · Si la cota es pequeña, el error verdadero es menor.
Increasing the degree $n$ generally makes the error bound... · Aumentar el grado $n$ generalmente hace que la cota de error...
A bigger factorial shrinks the bound → more accuracy. · Un factorial más grande encoge la cota → mayor precisión.
Use the $(n+1)$th derivative and the factorial $(n+1)!$ — one past the polynomial's degree, not $n$. $M$ is the maximum of $|f^{(n+1)}|$ on the interval between $a$ and $x$ (a worst-case bound, so pick a value you can justify is large enough). The bound is a guarantee, usually larger than the actual error.
Utiliza la derivada $(n+1)$-ésima y el factorial $(n+1)!$ — uno más allá del grado del polinomio, no $n$. $M$ es el máximo de $|f^{(n+1)}|$ en el intervalo entre $a$ y $x$ (una cota de caso worst-case, así que elige un valor que puedas justificar como suficientemente grande). El límite es una garantía, usualmente mayor que el error real.
Bound the error of the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $e^x$ at $x=0.1$.
- Next derivative: $f'''(x)=e^x$; on $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- So $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ is within $0.0002$ of $e^{0.1}$. ✓
Acota el error del polinomio de Maclaurin de grado $2$ para $e^x$ en $x=0.1$.
- Siguiente derivada: $f'''(x)=e^x$; en $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- Así, $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ está dentro de $0.0002$ de $e^{0.1}$. ✓
The Lagrange error bound: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, where $M$ bounds the $(n+1)$th derivative on the interval between $a$ and $x$. It's the next Taylor term with the derivative replaced by its max — a guaranteed error ceiling for proving an approximation meets a tolerance.
El límite del error de Lagrange: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, donde $M$ acota la derivada $(n+1)$-ésima en el intervalo entre $a$ y $x$. Es el siguiente término de Taylor con la derivada reemplazada por su máximo: un techo garantizado para el error用于 demostrar que una aproximación cumple con una tolerancia.