Alternating Series Error Bound · Límite del Error de Series Alternas
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| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | cota de error de serie alternante |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
¿Qué tan cerca está una suma parcial?
- Si detienes una serie alternante después de unos pocos términos, ¿qué tan lejos está tu estimación?
- Para una serie alternante convergente, existe una cota bellamente simple.
- La cota de error de la serie alternante 交错级数误差界: el error no es mayor que el primer término omitido.
- Un solo término te dice la precisión — sin cálculos complicados.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
La cota
- Aproxima la suma $S$ mediante la suma parcial $n$-ésima $S_n$. El resto (error) es $|S-S_n|$.
- Para una serie alternante convergente (decreciente $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- El error es a lo sumo el valor absoluto del siguiente término — el primero que dejaste fuera.
The next term bounds the error · El siguiente término acota el error
Partial sums of an alternating series trap the true sum, so the error is at most the size of the next (omitted) term. · Las sumas parciales de una serie alterna atrapan la suma verdadera, por lo que el error es como máximo del tamaño del siguiente (omitido) término.
For a convergent alternating series, the error $|S-S_n|$ is at most... · Para una serie alterna convergente, el error $|S-S_n|$ es como máximo...
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
The error is bounded by the first ____ term, not the last included one. · El error está acotado por el primer término ____, no el último incluido.
Use $b_{n+1}$, the term you did not add. · Use $b_{n+1}$, el término que no sumó.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
Por qué el siguiente término lo acota
- Debido a que los términos alternan y decrecen, la suma verdadera siempre queda atrapada entre sumas parciales consecutivas.
- Así que detenerse en $S_n$ sobrepasa o subestima en menos de la magnitud del siguiente término.
- Las sumas parciales se cierran como un acordeón que se encoge alrededor de $S$.
- Por lo tanto, el mismo siguiente término es un techo garantizado para el error.
Approximating $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with $3$ terms, the error bound is the next term $b_4$. What is it? · Al aproximar $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ con $3$ términos, el límite del error es el siguiente término $b_4$. ¿Cuál es?
$b_4=\tfrac14=0.25$.
The true sum is always trapped between consecutive partial sums of an alternating series. · La suma verdadera siempre queda atrapada entre sumas parciales consecutivas de una serie alterna.
That is why the next term bounds the error. · Por eso el siguiente término acota el error.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
Usarlo para garantizar precisión
- ¿Quieres que el error sea menor a $0.01$? Encuentra el primer término con $b_{n+1}\le 0.01$ y detente ahí.
- La cota te permite decidir cuántos términos necesitas para una precisión objetivo.
- Solo se aplica a series alternantes que cumplen las condiciones de la Prueba de Series Alternantes.
- Simple, ajustado y amigable para exámenes.
This error bound applies to any convergent series, alternating or not. · Este límite de error se aplica a cualquier serie convergente, alterna o no.
Only alternating series meeting the test conditions. · Solo a series alternas que cumplen las condiciones de la prueba.
To guarantee an error under $0.01$, you keep terms until the next term $b_{n+1}$ is... · Para garantizar un error menor a $0.01$, mantiene términos hasta que el siguiente término $b_{n+1}$ sea...
Stop when $b_{n+1}\le0.01$. · Deténgase cuando $b_{n+1}\le0.01$.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Esta cota funciona solo para series alternantes que satisfacen la Prueba de Series Alternantes (decreciente $b_n\to0$) — no se aplica a series de términos positivos. El error está acotado por el primer término omitido $b_{n+1}$, no por el último incluido. Usa $b_{n+1}$, la magnitud del término que no añadiste.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
Estima $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ con los primeros $3$ términos; acota el error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- Primer término omitido: $b_4=\tfrac14$. Entonces $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- La suma verdadera $\ln 2\approx0.693$ está efectivamente dentro de $0.25$ de $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.
La cota de error de la serie alternante: para una serie alternante convergente, el error de la suma parcial $n$-ésima es a lo sumo el primer término omitido, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. Se aplica únicamente a series alternantes que cumplen las condiciones de la prueba, y te permite elegir cuántos términos garantizan una precisión objetivo.