Comparison Tests for Convergence · Pruebas de Comparación para la Convergencia
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| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | pruebas de comparación |
Judging a series by a known neighbor
- If a mystery series looks like a series you already understand, compare them.
- The comparison tests 比较判别法 measure an unknown positive series against a known one (usually a p-series or geometric series).
- Bigger than something that diverges → diverges. Smaller than something that converges → converges.
- Two flavors: a direct comparison and a limit comparison.
Juzgar una serie por un vecino conocido
- Si una serie misteriosa se parece a una serie que ya conoces, compáralas.
- Las pruebas de comparación 比较判别法 miden una serie positiva desconocida contra una conocida (generalmente una p-serie o una serie geométrica).
- Mayor que algo que diverge → diverge. Menor que algo que converge → converge.
- Dos variantes: comparación directa y comparación por límite.
Direct Comparison Test
- For positive terms with $0\le a_n\le b_n$:
- If $\sum b_n$ converges, then the smaller $\sum a_n$ converges too.
- If $\sum a_n$ diverges, then the bigger $\sum b_n$ diverges too.
- Squeeze from the right side: bounded above by a convergent series, or below by a divergent one.
Prueba de Comparación Directa
- Para términos positivos con $0\le a_n\le b_n$:
- Si $\sum b_n$ converge, entonces la más pequeña $\sum a_n$ también converge.
- Si $\sum a_n$ diverge, entonces la más grande $\sum b_n$ también diverge.
- Acotada desde el lado derecho: acotada superiormente por una serie convergente, o inferiormente por una divergente.
Compare to a known series · Comparar con una serie conocida
A positive series bounded by a known convergent (or divergent) series shares its fate — pick the dominant comparison. · Una serie positiva acotada por una serie convergente (o divergente) conocida comparte su destino: elige la comparación dominante.
If $0\le a_n\le b_n$ and · y $\sum b_n$ converges, then $\sum a_n$... · Si $0\le a_n\le b_n$ y $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$...
Smaller than a convergent series → converges. · Menor que una serie convergente → converge.
The comparison tests require positive terms. · Las pruebas de comparación requieren términos positivos.
They compare magnitudes of positive series. · Comparan magnitudes de series positivas.
Limit Comparison Test
- Sometimes inequalities are awkward; instead compare growth rates.
- Take $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. If $L$ is a finite positive number ($0
- Pick $b_n$ from the dominant terms of $a_n$ (e.g. compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ with $\tfrac1{n^2}$).
- The limit being positive and finite means they behave alike.
Prueba de Comparación por Límite
- A veces las desigualdades son incómodas; en su lugar, compara las tasas de crecimiento.
- Calcula $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. Si $L$ es un número finito y positivo ($0
- Elige $b_n$ a partir de los términos dominantes de $a_n$ (p. ej., comparar $\tfrac{n}{n^3+1}$ con $\tfrac1{n^2}$).
- Que el límite sea positivo y finito significa que se comportan de manera similar.
In the Limit Comparison Test, if $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ with $0
A finite positive limit → same convergence behavior. · Un límite finito positivo → mismo comportamiento de convergencia.
For the Limit Comparison Test to conclude, the limit $L$ must be finite and ____. · Para que la Prueba de Comparación por Límites concluya, el límite $L$ debe ser finito y ____.
$0
Choosing the comparison series
- Look at the dominant behavior of $a_n$ for large $n$ — the highest powers on top and bottom.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ behaves like $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare with the p-series $\tfrac1{n^2}$.
- Then either bound it directly or take the limit ratio.
- The right comparison series turns a scary series into a known one.
Elegir la serie de comparación
- Observa el comportamiento dominante de $a_n$ para valores grandes de $n$ — los exponentes más altos en el numerador y denominador.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ se comporta como $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compárala con la p-serie $\tfrac1{n^2}$.
- Luego acótala directamente o toma el cociente del límite.
- La serie de comparación adecuada transforma una serie temible en una conocida.
To test $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, a good comparison series is... · Para probar $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, una buena serie de comparación es...
Dominant behavior $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → compare with $\tfrac1{n^2}$. · Comportamiento dominante $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → comparar con $\tfrac1{n^2}$.
Since $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ and · y $\sum\tfrac1{n^2}$ converges, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$... · Dado que $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ y $\sum\tfrac1{n^2}$ converge, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
Bounded above by a convergent series → converges. · Acotada superiormente por una serie convergente → converge.
Comparison tests need positive terms. For Direct Comparison, the inequality must point the right way: to prove convergence, bound above by a convergent series; to prove divergence, bound below by a divergent one. For Limit Comparison, the limit $L$ must be finite and positive ($0
Las pruebas de comparación requieren términos positivos. Para la Comparación Directa, la desigualdad debe apuntar en la dirección correcta: para probar convergencia, acota por encima con una serie convergente; para probar divergencia, acota por debajo con una serie divergente. Para la Comparación por Límite, el límite $L$ debe ser finito y positivo ($0
Does $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- For large $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ behaves like $\dfrac{1}{n^2}$ (a convergent p-series).
- Direct: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, and $\sum\tfrac1{n^2}$ converges → so does the smaller series.
- Therefore $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converges.
¿Converge $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$?
- Para valores grandes de $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ se comporta como $\dfrac{1}{n^2}$ (una p-serie convergente).
- Directa: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, y $\sum\tfrac1{n^2}$ converge → también lo hace la serie más pequeña.
- Por lo tanto, $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge.
The comparison tests judge a positive series against a known one. Direct: bound above by a convergent series (→ converges) or below by a divergent one (→ diverges). Limit: if $\lim\frac{a_n}{b_n}$ is finite and positive, both share the same fate. Choose $b_n$ from $a_n$'s dominant terms.
Las pruebas de comparación juzgan una serie positiva contra una conocida. Directa: acotar por encima con una serie convergente (→ converge) o por debajo con una divergente (→ diverge). Por límite: si $\lim\frac{a_n}{b_n}$ es finito y positivo, ambas comparten el mismo destino. Elige $b_n$ a partir de los términos dominantes de $a_n$.