Alternating Series Test for Convergence · Criterio de las Series Alternantes para la Convergencia
| English | Español |
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| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | serie alternante |
Series whose signs flip
- Some series alternate sign: $+,-,+,-,\dots$, like $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- These are alternating series 交错级数, and they have their own gentle convergence test.
- The sign flips let terms partly cancel, so alternating series converge more easily.
- One test with two simple conditions handles them.
Series con signos alternados
- Algunas series tienen signos que se alternan: $+,-,+,-,\dots$, como $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- Estas son series alternadas 交错级数 y poseen su propia prueba de convergencia sencilla.
- El cambio de signo permite que los términos se cancele parcialmente entre sí, por lo que las series alternadas convergen más fácilmente.
- Existe una prueba con dos condiciones simples que las abarca.
The Alternating Series Test
- An alternating series $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if both:
- 1. the terms decrease: $b_{n+1}\le b_n$, and
- 2. the terms shrink to zero: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- If both hold, the alternating series converges. Simple as that.
La Prueba de la Serie Alternada
- Una serie alternada $\sum(-1)^n b_n$ (con $b_n>0$) converge si ambas:
- 1. los términos disminuyen: $b_{n+1}\le b_n$, y
- 2. los términos se acercan a cero: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- Si ambas se cumplen, la serie alternada converge. Tan simple como eso.
Shrinking alternating terms · Términos alternantes decrecientes
If the positive part decreases to $0$, the sign flips let the partial sums close in — the series converges. · Si la parte positiva disminuye hacia $0$, el signo se invierte y permite que las sumas parciales se acerquen — la serie converge.
The Alternating Series Test requires the positive terms $b_n$ to be which? · El Criterio de las Series Alternantes requiere que los términos positivos $b_n$ sean cuáles?
Decreasing and limit $0$. · Decrecientes y límite $0$.
Why the flips help
- Each new term is smaller than the last and opposite in sign, so it partly undoes the previous one.
- The partial sums bounce, but by shrinking amounts — closing in on a limit.
- That's why $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converges, even though $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (harmonic) diverges.
- The alternation is what tames the harmonic terms.
Por qué los cambios de signo ayudan
- Cada nuevo término es menor que el anterior y tiene signo opuesto, por lo que cancela parcialmente al anterior.
- Las sumas parciales oscilan, pero en cantidades decrecientes —acercándose a un límite.
- Es por eso que $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ converge, aunque $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (armónica) diverja.
- La alternancia es lo que domina a los términos armónicos.
The alternating harmonic series $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$... · La serie armónica alternante $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
$b_n=\tfrac1n$ decreases to $0$ → converges. · $b_n=\tfrac1n$ decrece hacia $0$ → converge.
The sign ____ let the partial sums close in on a limit. · El signo ____ permite que las sumas parciales se acerquen a un límite.
Alternation causes partial cancellation. · La alternación causa cancelación parcial.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converges even though $\sum\tfrac1n$ diverges. · $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converge aunque $\sum\tfrac1n$ diverge.
The alternation tames the harmonic terms. · La alternación controla los términos armónicos.
Applying it cleanly
- Strip off the $(-1)^n$ and check the positive part $b_n$ for the two conditions.
- Is $b_n$ decreasing? Does $b_n\to0$? If yes to both, converges.
- If $b_n$ does not go to $0$, the series diverges (by the nth Term Test instead).
- The test is quick once you isolate $b_n$.
Aplicarla limpiamente
- Separe el $(-1)^n$ y verifique la parte positiva $b_n$ para las dos condiciones.
- ¿Está $b_n$ disminuyendo? ¿Tiene $b_n\to0$? Si la respuesta es afirmativa para ambas, converge.
- Si $b_n$ no tiende a $0$, la serie diverge (por la Prueba del Término n-ésimo).
- La prueba es rápida una vez que se aísla $b_n$.
You check the two conditions on the positive part $b_n$ after removing $(-1)^n$. · Verifica las dos condiciones en la parte positiva $b_n$ después de eliminar $(-1)^n$.
Isolate $b_n$ first. · Aísla primero $b_n$.
If $b_n\not\to0$ for an alternating series, it... · Si $b_n\not\to0$ para una serie alternante, esta...
Terms not $\to0$ → diverges regardless of alternation. · Términos que no $\to0$ → diverge independientemente de la alternancia.
Apply the two conditions to the positive terms $b_n$ (after removing the $(-1)^n$). Both are needed: decreasing and limit $0$. If $b_n\not\to0$, the series diverges (nth Term Test). And this test proves convergence of the alternating series; it says nothing about $\sum b_n$ or $\sum|a_n|$ (see absolute vs. conditional, lesson 10.9).
Aplique las dos condiciones a los términos positivos $b_n$ (después de eliminar el $(-1)^n$). Se necesitan ambas: disminución y límite $0$. Si $b_n\not\to0$, la serie diverge (Prueba del Término n-ésimo). Y esta prueba demuestra la convergencia de la serie alternada; no dice nada sobre $\sum b_n$ ni $\sum|a_n|$ (vea absoluto vs. condicional, lección 10.9).
Does the alternating harmonic series $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ converge?
- Positive part $b_n=\tfrac1n$. Decreasing? Yes, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Limit $0$? Yes, $\tfrac1n\to0$.
- Both conditions hold, so the series converges by the Alternating Series Test.
- (Even though the plain harmonic series diverges.)
¿Converge la serie armónica alternada $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$?
- Parte positiva $b_n=\tfrac1n$. ¿Disminuye? Sí, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. ¿Límite $0$? Sí, $\tfrac1n\to0$.
- Se cumplen ambas condiciones, por lo que la serie converge según la Prueba de la Serie Alternada.
- (Aunque la serie armónica simple diverge.)
The Alternating Series Test: $\sum(-1)^n b_n$ (with $b_n>0$) converges if the terms $b_n$ are decreasing and $b_n\to0$. Check both on the positive part $b_n$. The alternation lets series like $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge where the non-alternating version diverges.
La Prueba de la Serie Alternante: $\sum(-1)^n b_n$ (con $b_n>0$) converge si los términos $b_n$ son decrecientes y $b_n\to0$. Verifique ambas condiciones en la parte positiva $b_n$. La alternancia permite que series como $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converjan donde su versión no alternante diverge.