Working with Geometric Series · Trabajando con series geométricas
| English | Español |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | serie geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razón común |
The one series you can sum exactly
- Most series are hard to add up. The geometric series 几何级数 is the friendly exception — it has a formula.
- Each term is the previous one times a fixed common ratio 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- It's the infinite version of the geometric sequences you already know.
- And there's a clean rule for exactly when it converges and to what.
La única serie que puedes sumar exactamente
- La mayoría de las series son difíciles de sumar. La serie geométrica 几何级数 es la excepción amable — tiene una fórmula.
- Cada término es el anterior multiplicado por una razón común fija 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- Es la versión infinita de las secuencias geométricas que ya conoces.
- Y existe una regla clara para saber exactamente cuándo converge y a qué valor.
A geometric sequence · Una secuencia geométrica
A geometric series adds terms multiplied by $r$ each time — it converges (to $a/(1-r)$) exactly when $|r|<1$. · Una serie geométrica suma términos multiplicados por $r$ cada vez — converge (hacia $a/(1-r)$) exactamente cuando $|r|<1$.
Converges only when $|r|<1$
- A geometric series converges exactly when $|r|<1$ (the ratio is a fraction).
- If $|r|\ge1$, the terms don't shrink to $0$, so it diverges.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converges; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverges.
- The single number $|r|$ decides everything.
Converge solo cuando $|r|<1$
- Una serie geométrica converge exactamente cuando $|r|<1$ (la razón es una fracción).
- Si $|r|\ge1$, los términos no se acercan a $0$, por lo que diverge.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converge; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverge.
- El único número $|r|$ decide todo.
A geometric series $\sum a r^n$ converges exactly when... · Una serie geométrica $\sum a r^n$ converge exactamente cuando...
Converges iff the ratio is a fraction, $|r|<1$. · Converge si y solo si la razón es una fracción, $|r|<1$.
Which geometric series diverges? · ¿Cuál de las siguientes series geométricas diverge?
$r=2$ has $|r|\ge1$ → diverges. · $r=2$ tiene $|r|\ge1$ → diverge.
The sum formula
- When it converges ($|r|<1$), the sum is
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ is the first term and $r$ the common ratio.
- Plug in and you get the exact infinite sum — no limits to compute by hand.
La fórmula de la suma
- Cuando converge ($|r|<1$), la suma es
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ es el primer término y $r$ la razón común.
- Sustituye y obtendrás la suma infinita exacta — sin necesidad de calcular límites a mano.
The sum of a convergent geometric series is... · La suma de una serie geométrica convergente es...
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ for $|r|<1$. · $\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ para $|r|<1$.
The formula $\tfrac{a}{1-r}$ can be applied even when $|r|\ge1$. · La fórmula $\tfrac{a}{1-r}$ puede aplicarse incluso cuando $|r|\ge1$.
Only when $|r|<1$ (convergent). · Solo cuando $|r|<1$ (convergente).
Getting $a$ and $r$ right
- $a$ is the actual first term of the series (whatever it starts at), not necessarily $1$.
- $r$ is the ratio between consecutive terms — divide any term by the one before it.
- If a series starts at $n=1$ instead of $n=0$, adjust $a$ to be that first term.
- With the right $a$ and $r$, the formula $\tfrac{a}{1-r}$ does the rest.
Obtener correctamente $a$ y $r$
- $a$ es el primer término real de la serie (el valor con el que empieza), no necesariamente $1$.
- $r$ es la razón entre términos consecutivos — divide cualquier término por el anterior.
- Si una serie comienza en $n=1$ en lugar de $n=0$, ajusta $a$ para que sea ese primer término.
- Con la $a$ y $r$ correctas, la fórmula $\tfrac{a}{1-r}$ hace el resto del trabajo.
Find $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (a decimal). · Encontrar $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (en decimal).
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
In the formula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ is the ____ term of the series. · En la fórmula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ es el término ____ de la serie.
$a$ is the actual first term. · $a$ es el primer término real.
The formula $\frac{a}{1-r}$ applies only when $|r|<1$ — using it on a divergent geometric series gives a meaningless number. And $a$ is the first term as written, not always $1$: for $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, the first term is $\tfrac32$, not $3$.
La fórmula $\frac{a}{1-r}$ aplica solo cuando $|r|<1$ — usarla en una serie geométrica divergente da como resultado un número sin sentido. Además, $a$ es el primer término tal como está escrito, no siempre $1$: para $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, el primer término es $\tfrac32$, no $3$.
Find the sum of $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- First term $a=5$, common ratio $r=\tfrac13$. Since $|r|<1$, it converges.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
Encuentra la suma de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- Primer término $a=5$, razón común $r=\tfrac13$. Como $|r|<1$, converge.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
A geometric series $\sum a\,r^n$ converges iff $|r|<1$, and then sums to $\frac{a}{1-r}$ (with $a$ the first term, $r$ the common ratio). If $|r|\ge1$ it diverges. It's the one series with an exact, easy sum.
Una serie geométrica $\sum a\,r^n$ converge si y solo si $|r|<1$, y en ese caso su suma es $\frac{a}{1-r}$ (donde $a$ es el primer término y $r$ la razón común). Si $|r|\ge1$ diverge. Es la única serie con una suma exacta y sencilla.