The nth Term Test for Divergence · La Prueba del Término n-ésimo para la Divergencia
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| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | Prueba del término n-ésimo |
A quick way to prove divergence
- Before running a fancy test, do the cheapest check: look at the terms.
- The nth Term Test 通项判别法 (or Divergence Test) uses the limit of the terms $a_n$.
- If the terms don't shrink to $0$, the series can't converge — it diverges immediately.
- It's the first thing to try, and it only ever proves divergence.
Una forma rápida de demostrar divergencia
- Antes de aplicar una prueba compleja, realiza la verificación más sencilla: revisa los términos.
- La Prueba del término n-ésimo (o Prueba de divergencia) utiliza el límite de los términos $a_n$.
- Si los términos no tienden a $0$, la serie no puede converger — diverge inmediatamente.
- Es lo primero que debes intentar, y solo sirve para demostrar divergencia.
The test
- Compute $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (or the limit doesn't exist), the series $\sum a_n$ diverges.
- Intuition: if you keep adding pieces that don't shrink to $0$, the total can never settle.
- One limit computation, and you may be done.
La prueba
- Calcula $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (o si el límite no existe), la serie $\sum a_n$ diverge.
- Intuición: si sigues sumando piezas que no se hacen cada vez más pequeñas hacia $0$, la suma total nunca podrá estabilizarse.
- Con un solo cálculo de límite, podrías haber terminado.
Terms that don't reach zero · Términos que no se acercan a cero
If a series' terms level off at a nonzero value, the sum can never settle — the nth Term Test proves divergence. · Si los términos de una serie se estabilizan en un valor distinto de cero, la suma nunca puede converger; la Prueba del Término n-ésimo demuestra divergencia.
If $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, then $\sum a_n$... · Si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, entonces $\sum a_n$...
Nonzero term limit → divergence. · Límite de término distinto de cero → divergencia.
It can never prove convergence
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, the test is inconclusive — it tells you nothing.
- The series might converge or diverge; you must use another test.
- The harmonic series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges — proof the test can't confirm convergence.
- So a "$0$" limit is a dead end for this test, not a green light.
Nunca puede probar convergencia
- Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, la prueba es inconclusiva — no te dice nada.
- La serie podría converger o divergir; debes usar otra prueba.
- La serie armónica $\sum\tfrac1n$ tiene $a_n\to0$ pero diverge — esto demuestra que la prueba no puede confirmar la convergencia.
- Por lo tanto, un límite igual a "$0$" es un callejón sin salida para esta prueba, no una luz verde.
If $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, the nth Term Test is... · Si $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, la Prueba del Término n-ésimo es...
It only proves divergence; a $0$ limit tells you nothing. · Solo prueba divergencia; un límite de $0$ no te dice nada.
The nth Term Test can prove a series converges. · La Prueba del Término n-ésimo puede probar que una serie converge.
It can only prove divergence. · Solo puede probar divergencia.
The series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges. This shows the nth Term Test... · La serie $\sum\tfrac1n$ tiene $a_n\to0$ pero diverge. Esto muestra que la Prueba del Término n-ésimo...
A $0$ limit doesn't guarantee convergence. · Un límite de $0$ no garantiza convergencia.
Where it fits in the strategy
- Always run the nth Term Test first — it's fast and can save you a hard test.
- Terms not $\to0$? Done: diverges.
- Terms $\to0$? Move on to a real convergence test (geometric, integral, comparison, ratio, alternating).
- It's a filter, not a full answer.
Dónde encaja en la estrategia
- Aplica siempre la Prueba del término n-ésimo primero — es rápida y puede ahorrarte una prueba difícil.
- ¿Los términos no tienden a $\to0$? Terminado: diverge.
- ¿Los términos tienden a $\to0$? Pasa a una prueba de convergencia real (geométrica, integral, comparación, cociente, alternante).
- Es un filtro, no una respuesta completa.
For · A favor $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. So the series... · Para $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Por lo tanto, la serie...
$\tfrac12\neq0$ → diverges. · $\tfrac12\neq0$ → diverge.
As a fast filter, run the nth Term Test ____ among the convergence tests. · Como filtro rápido, ejecuta la Prueba del Término n-ésimo ____ entre las pruebas de convergencia.
It's the cheapest divergence check. · Es la comprobación de divergencia más económica.
The nth Term Test can only prove divergence. If $\lim a_n=0$, it is inconclusive — do not conclude convergence. The single most common misuse is "$a_n\to0$, so it converges" — wrong; $\sum\frac1n$ is the counterexample.
La Prueba del término n-ésimo puede solo demostrar divergencia. Si $\lim a_n=0$, es inconclusiva — no concluyas que converge. El error más común es decir "$a_n\to0$, por lo tanto converge" — ¡eso es incorrecto! $\sum\frac1n$ es el contraejemplo.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Terms: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Since the limit is $\tfrac12\neq0$, the series diverges by the nth Term Test.
¿Converge $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$?
- Términos: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Límite: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Como el límite es $\tfrac12\neq0$, la serie diverge según la Prueba del término n-ésimo.
The nth Term Test: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (or DNE), then $\sum a_n$ diverges. If $\lim a_n=0$, the test is inconclusive (it never proves convergence). Run it first as a fast divergence filter.
La Prueba del término n-ésimo: si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (o no existe), entonces $\sum a_n$ diverge. Si $\lim a_n=0$, la prueba es inconclusiva (nunca prueba convergencia). Aplícala primero como un filtro rápido de divergencia.