Finding the Area Between Curves That Intersect at More Than Two Points · Encontrar el área entre curvas que se intersectan en más de dos puntos
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| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | subintervalos |
When the curves keep crossing
- Sometimes two curves cross more than twice, and the "top" curve swaps along the way.
- A single top-minus-bottom integral would then get the sign wrong on part of the region.
- The fix: split the region at each crossing and integrate each piece separately.
- Add the pieces' (positive) areas to get the total.
Cuando las curvas se cruzan más de dos veces
- A veces dos curvas se cruzan más de dos veces, y la curva "superior" cambia a lo largo del camino.
- Una única integral de superior menos inferior daría entonces el signo incorrecto en parte de la región.
- La solución: dividir la región en cada punto de cruce e integrar cada pieza por separado.
- Sumar las áreas (positivas) de las piezas para obtener el total.
Find every intersection first
- Solve $f(x)=g(x)$ completely — find all the crossing points on the interval, not just the outer two.
- These crossings are the boundaries of the subintervals 子区间 where the ordering is fixed.
- Order them left to right along the $x$-axis.
- Each adjacent pair of crossings frames one piece of the region.
Encuentra todas las intersecciones primero
- Resuelve $f(x)=g(x)$ completamente — encuentra todos los puntos de cruce en el intervalo, no solo los dos externos.
- Estos cruces son los límites de las subintervalos donde el ordenamiento es fijo.
- Ordenalos de izquierda a derecha sobre el eje $x$.
- Cada par adyacente de cruces delimita una pieza de la región.
A cubic crossing a line 3 times · Una cúbica cruzando una línea 3 veces
y = ax³ + bx
$y=x^3$ and · y $y=x$ cross at $-1,0,1$; the top curve switches at $0$, so the area needs two pieces. · $y=x^3$ y $y=x$ se cruzan en $-1,0,1$; la curva superior cambia en $0$, por lo que el área necesita dos piezas.
Where do $y=x^3$ and · y $y=x$ cross? · ¿Dónde se cruzan $y=x^3$ e $y=x$?
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
The intersection points divide the region into ____ where the ordering is fixed. · Los puntos de intersección dividen la región en ____ donde el orden es fijo.
On each subinterval one curve is consistently on top. · En cada subintervalo, una curva está consistentemente arriba.
Split where top and bottom switch
- On each subinterval, one curve is consistently on top — test a point to see which.
- Set up a separate integral of (upper $-$ lower) for each subinterval, using the correct top curve there.
- Because the top curve switches between pieces, the integrands differ from piece to piece.
- The full area is the sum of these separate integrals.
Divide donde cambian la superior e inferior
- En cada subintervalo, una curva está consistentemente arriba; prueba un punto para ver cuál es.
- Plantea una integral separada de (superior $-$ inferior) para cada subintervalo, usando la curva correcta arriba en ese tramo.
- Como la curva superior cambia entre piezas, los integrandos difieren de una pieza a otra.
- El área total es la suma de estas integrales separadas.
You split the region at each intersection because... · Divides la región en cada intersección porque...
Where curves swap, part of the region would count negative. · Donde las curvas cambian, parte del área contaría negativamente.
Using one integral of $f-g$ across all crossings (curves swapping) gives... · Usar una integral de $f-g$ a través de todas las intersecciones (curvas cambiando) da...
Sign-cancellation understates the true area. · La cancelación de signos subestima el área real.
Add the absolute areas
- Each subinterval integral, done with the correct top-minus-bottom, is positive.
- Sum them: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalently, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — the absolute gap, integrated.
- Both viewpoints give the same total geometric area.
Suma las áreas absolutas
- Cada integral de subintervalo, hecha con la correcta superior menos inferior, es positiva.
- Súmalos: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalentemente, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — la brecha absoluta, integrada.
- Ambas perspectivas dan la misma área geométrica total.
For · A favor $y=x^3$ and · y $y=x$ on $[-1,1]$, each piece has area $\tfrac14$. Find the total area. · Para $y=x^3$ e $y=x$ en $[-1,1]$, cada pieza tiene un área de $\tfrac14$. Encuentra el área total.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Integrating $|f(x)-g(x)|$ over the whole interval gives the same total area as splitting. · Integrar $|f(x)-g(x)|$ sobre todo el intervalo da la misma área total que dividir.
The absolute value handles the switching automatically. · El valor absoluto maneja el cambio automáticamente.
Do not use one integral of $f-g$ across all crossings — where the curves swap, part of the region contributes a negative value and cancels real area. You must split at every intersection and take upper-minus-lower correctly on each piece (or integrate $|f-g|$). Find all the crossings, not just the endpoints.
No uses una sola integral de $f-g$ a través de todos los cruces — donde las curvas cambian de posición, parte de la región contribuye con un valor negativo y cancela área real. Debes dividir en cada intersección y tomar superior menos inferior correctamente en cada pieza (o integrar $|f-g|$). Encuentra todos los cruces, no solo los extremos.
Area between $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$.
- Crossings: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — three points.
- On $(-1,0)$: $x^3>x$ (test $-0.5$). On $(0,1)$: $x>x^3$ (test $0.5$). The top curve switches at $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$.
- Cruces: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — tres puntos.
- En $(-1,0)$: $x^3>x$ (prueba $-0.5$). En $(0,1)$: $x>x^3$ (prueba $0.5$). La curva superior cambia en $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
When curves intersect more than twice, find all intersection points, split the region into subintervals, and integrate upper minus lower on each (the top curve switches between them). Sum the pieces — equivalently, integrate $|f(x)-g(x)|$. One straight integral of $f-g$ would wrongly cancel area.
Cuando las curvas se intersectan más de dos veces, encuentra todos los puntos de intersección, divide la región en subintervalos e integra superior menos inferior en cada uno (la curva superior cambia entre ellos). Suma las piezas — equivalentemente, integra $|f(x)-g(x)|$. Una sola integral directa de $f-g$ cancelaría erróneamente área.