Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · Volúmenes con Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos
| English | Español |
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| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | secciones transversales |
Stacking up thin slabs into a solid
- Integration also finds volumes, not just areas — by adding up thin slices of a solid.
- Slice a solid perpendicular to an axis; each slice is a thin slab of some cross-sectional area $A(x)$.
- Add them up: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — the integral of the cross-sectional area.
- This lesson covers solids whose cross sections 横截面 are squares or rectangles.
Apilando láminas delgadas para formar un sólido
- La integración también permite calcular volúmenes, no solo áreas — sumando rebanadas finas de un sólido.
- Secciona un sólido perpendicularmente a un eje; cada rebanada es una lámina delgada con un área transversal $A(x)$.
- Suma todas las rebanadas: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — la integral del área transversal.
- Esta lección trata sobre sólidos cuyos secciones transversales son cuadrados o rectángulos.
The general volume formula
- If the cross section at $x$ has area $A(x)$ and thickness $dx$, its tiny volume is $A(x)\,dx$.
- Sum over the solid: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Everything reduces to: write the cross-sectional area as a function of $x$, then integrate.
- The hard part is the geometry of one slice, not the calculus.
La fórmula general del volumen
- Si la sección transversal en $x$ tiene área $A(x)$ y espesor $dx$, su volumen infinitesimal es $A(x)\,dx$.
- Suma sobre todo el sólido: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Todo se reduce a: escribir el área transversal como función de $x$, e integrar.
- La parte difícil es la geometría de una sola rebanada, no el cálculo diferencial e integral.
The volume of a solid with cross-sectional area $A(x)$ is... · El volumen de un sólido con área de sección transversal $A(x)$ es...
Add up slabs $A(x)\,dx$. · Sumar las láminas $A(x)\,dx$.
To use $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the cross-section slices must be... · Para usar $V=\int_a^b A(x)\,dx$, las rebanadas de sección transversal deben ser...
Slices are perpendicular to the axis you integrate along. · Las rebanadas son perpendiculares al eje a lo largo del cual se integra.
Square cross sections
- A common setup: cross sections are squares with base sitting on the region between two curves.
- If the base length is $s(x)$ (often $f(x)-g(x)$, the gap between curves), a square's area is $s(x)^2$.
- So $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- The base of each square spans the region; its area is base-squared.
Secciones transversales cuadradas
- Configuración común: las secciones transversales son cuadrados cuya base descansa sobre la región entre dos curvas.
- Si la longitud de la base es $s(x)$ (generalmente $f(x)-g(x)$, la separación entre curvas), el área de un cuadrado es $s(x)^2$.
- Así, $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- La base de cada cuadrado abarca la región; su área es la longitud de la base al cuadrado.
The base region under √x · La región base bajo √x
y = a·√x
Each square slice sits on the base; its side is the height $\sqrt{x}$, so its area is $(\sqrt{x})^2=x$. · Cada sección cuadrada se asienta sobre la base; su lado es la altura $\sqrt{x}$, por lo que su área es $(\sqrt{x})^2=x$.
For square cross sections with base $s(x)$, the area is... · Para secciones transversales cuadradas con base $s(x)$, el área es...
A square of side $s$ has area $s^2$. · Un cuadrado de lado $s$ tiene área $s^2$.
The base length of a cross section is often the distance between the boundary curves, $f(x)-g(x)$. · La longitud de la base de una sección transversal suele ser la distancia entre las curvas de frontera, $f(x)-g(x)$.
The base spans the region between the curves. · La base abarca la región entre las curvas.
Rectangular cross sections
- For rectangles, the area is base $\times$ height: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- The height might be a fixed multiple of the base, or given separately in the problem.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Read the problem carefully to get the height rule right.
Secciones transversales rectangulares
- Para rectángulos, el área es base $\times$ altura: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- La altura podría ser un múltiplo fijo de la base, o estar dada por separado en el problema.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Lee el problema cuidadosamente para determinar correctamente la regla de la altura.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, square cross sections: $A(x)=x$. Find $V=\int_0^4 x\,dx$. · Base bajo $y=\sqrt x$ en $[0,4]$, secciones transversales cuadradas: $A(x)=x$. Hallar $V=\int_0^4 x\,dx$.
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
For rectangular cross sections, area = base ____ height. · Para secciones transversales rectangulares, área = base ____ altura.
$A=s\cdot h$ for a rectangle. · $A=s\cdot h$ para un rectángulo.
The base length $s(x)$ is usually the distance between the boundary curves ($f(x)-g(x)$) or between a curve and an axis — figure out what spans the base before squaring. For squares, the area is $s(x)^2$ (don't forget to square the whole gap). Slices must be perpendicular to the axis you integrate along.
La longitud de la base $s(x)$ suele ser la distancia entre las curvas frontera ($f(x)-g(x)$) o entre una curva y un eje — determina qué segmento abarca la base antes de elevar al cuadrado. Para cuadrados, el área es $s(x)^2$ (no olvides elevar toda la separación al cuadrado). Las rebanadas deben ser perpendiculares al eje a lo largo del cual integres.
A solid has base the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $4$, with square cross sections perpendicular to the $x$-axis.
- The base of each square is $s(x)=\sqrt{x}$ (curve to $x$-axis).
- Cross-sectional area: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
Un sólido tiene como base la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $x=0$ hasta $4$, con secciones transversales cuadradas perpendiculares al eje $x$.
- La base de cada cuadrado es $s(x)=\sqrt{x}$ (de la curva al eje $x$).
- Área transversal: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
A solid's volume is $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the integral of its cross-sectional area. For square cross sections with base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; for rectangles, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Find the base $s(x)$ (often the gap between curves), write $A(x)$, and integrate.
El volumen de un sólido es $V=\int_a^b A(x)\,dx$, la integral de su área transversal. Para secciones transversales cuadradas con base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; para rectángulos, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Encuentra la base $s(x)$ (generalmente la separación entre curvas), escribe $A(x)$ e integra.