Determining Intervals on Which a Function Is Increasing or Decreasing · Determinación de Intervalos en los que una Función es Creciente o Decreciente
| English | Español |
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| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | signo de la primera derivada |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | tabla de signos |
The sign of $f'$ tells the story
- Where a curve rises or falls is written in the sign of the first derivative 一阶导数符号.
- $f'(x)>0$ on an interval → $f$ is increasing there (going uphill).
- $f'(x)<0$ → $f$ is decreasing (going downhill).
- So to map out where $f$ climbs and drops, you just track the sign of $f'$.
El signo de $f'$ cuenta la historia
- Dónde sube o baja una curva está escrito en el signo de la derivada primera 一阶导数符号.
- $f'(x)>0$ en un intervalo → $f$ es creciente allí (subiendo).
- $f'(x)<0$ → $f$ es decreciente (bajando).
- Así que para mapear dónde $f$ asciende y desciende, solo necesitas rastrear el signo de $f'$.
Uphill where f′ > 0 · Ascendente donde f′ > 0
y = ax³ + cx
The curve climbs where its slope is positive and falls where negative — the sign of $f'$ maps every stretch. · La curva asciende donde su pendiente es positiva y desciende donde es negativa — el signo de $f'$ mapea cada tramo.
A function is increasing on an interval exactly when... · Una función es creciente en un intervalo exactamente cuando...
Positive first derivative means increasing. · Derivada primera positiva significa crecimiento.
Build a sign chart
- Start by finding the critical points (where $f'=0$ or is undefined) — these split the number line.
- Draw a sign chart 符号表: mark the critical points, creating open intervals between them.
- Pick a test point in each interval and check the sign of $f'$ there.
- One sign per interval is enough — $f'$ can't change sign without passing through a critical point.
Construye una tabla de signos
- Comienza encontrando los puntos críticos (donde $f'=0$ o no existe) — estos dividen la recta numérica.
- Dibuja una tabla de signos 符号表: marca los puntos críticos, creando intervalos abiertos entre ellos.
- Elige un punto de prueba en cada intervalo y verifica el signo de $f'$ ahí.
- Un solo signo por intervalo es suficiente; $f'$ no puede cambiar de signo sin pasar por un punto crítico.
For · A favor $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, evaluate $f'(0)$ to test the middle interval. · Para $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, evalúe $f'(0)$ para probar el intervalo central.
$3(-1)(1)=-3<0$, so $f$ is decreasing on $(-1,1)$. · $3(-1)(1)=-3<0$, por lo tanto $f$ es decreciente en $(-1,1)$.
The critical points split the number line into intervals for a ____ chart of $f'$. · Los puntos críticos dividen la recta numérica en intervalos para una tabla de ____ de $f'$.
A sign chart tracks where $f'$ is positive or negative. · Una tabla de signos rastrea dónde $f'$ es positivo o negativo.
Read off the intervals
- Each interval where $f'>0$ is an interval of increase; each where $f'<0$ is an interval of decrease.
- Write them in interval notation: e.g. increasing on $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Use the function's domain as the outer boundaries.
- (Whether to include a critical point is a convention detail; the AP usually accepts open intervals.)
Lee los intervalos
- Cada intervalo donde $f'>0$ es un intervalo de crecimiento; cada uno donde $f'<0$ es un intervalo de decrecimiento.
- Escríbelos en notación de intervalo: p. ej., creciente en $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Usa el dominio de la función como límites exteriores.
- (Si incluir un punto crítico es un detalle de convención; el AP generalmente acepta intervalos abiertos.)
For · A favor $f(x)=x^3-3x$ (critical points $\pm1$), select all · todos intervals of increase. · Para $f(x)=x^3-3x$ (puntos críticos $\pm1$), seleccione todos los intervalos de aumento.
$f'>0$ outside $[-1,1]$; decreasing in between. · $f'>0$ fuera de $[-1,1]$; decreciente entre ellos.
Why it works
- Between two consecutive critical points, $f'$ keeps one sign — no sign flip without a zero or a break.
- So one test value settles the whole interval.
- This sign information is the foundation of the First Derivative Test (next lesson).
- Increasing/decreasing behavior is exactly what a rate function encodes.
Por qué funciona
- Entre dos puntos críticos consecutivos, $f'$ mantiene un solo signo — no hay cambio de signo sin un cero o una discontinuidad.
- Así que un solo valor de prueba determina todo el intervalo.
- Esta información del signo es la base de la Prueba de la Derivada Primera (siguiente lección).
- El comportamiento de crecimiento/decrecimiento es exactamente lo que codifica una función de tasa.
A function that is negative (below the $x$-axis) can still be increasing. · Una función que es negativa (por debajo del eje $x$) aún puede ser creciente.
Increasing depends on $f'>0$, not the sign of $f$. · El crecimiento depende de $f'>0$, no del signo de $f$.
One test point settles a whole interval because $f'$ cannot change sign without... · Un solo punto de prueba resuelve todo un intervalo porque $f'$ no puede cambiar de signo sin...
A sign change requires a zero or an undefined point of $f'$. · Un cambio de signo requiere un cero o un punto indefinido de $f'$.
Track the sign of $f'$, not the sign of $f$. A function can be negative yet increasing (e.g. rising from $-5$ toward $-1$). "Increasing" means the outputs are getting larger ($f'>0$), regardless of whether $f$ itself is above or below the $x$-axis.
Rastrea el signo de $f'$, no el signo de $f$. Una función puede ser negativa y aún así crecer (p. ej., subiendo desde $-5$ hacia $-1$). "Crecer" significa que las salidas están aumentando ($f'>0$), independientemente de si $f$ misma está por encima o por debajo del eje $x$.
Where is $f(x)=x^3-3x$ increasing?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; critical points $x=-1,1$.
- Test $x=-2$: $f'>0$. Test $x=0$: $f'=-3<0$. Test $x=2$: $f'>0$.
- Increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$; decreasing on $(-1,1)$.
¿Dónde es $f(x)=x^3-3x$ creciente?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; puntos críticos $x=-1,1$.
- Prueba $x=-2$: $f'>0$. Prueba $x=0$: $f'=-3<0$. Prueba $x=2$: $f'>0$.
- Creciente en $(-\infty,-1)$ y $(1,\infty)$; decreciente en $(-1,1)$.
The sign of $f'$ determines monotonic behavior: $f'>0$ → increasing, $f'<0$ → decreasing. Split the number line at the critical points, build a sign chart with one test point per interval, and read off the intervals of increase and decrease. Track the sign of $f'$, not of $f$.
El signo de $f'$ determina el comportamiento monótono: $f'>0$ → creciente, $f'<0$ → decreciente. Divide la recta numérica en los puntos críticos, construye una tabla de signos con un punto de prueba por intervalo, y lee los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Rastrea el signo de $f'$, no el de $f$.