Removing Discontinuities · Eliminación de discontinuidades
| English | Español |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | función definida a trozos |
Patching a hole
- A removable discontinuity is a hole where the limit exists but the value is wrong or missing.
- Since the limit is a perfectly good number, you can redefine the function at that one point to fill the hole.
- Set the point's value equal to the limit — the curve now flows through smoothly.
- This is repairing continuity: possible only for the removable type.
Reparar un hueco
- Una discontinuidad evitable es un hueco donde el límite existe, pero el valor de la función es incorrecto o está ausente.
- Dado que el límite es un número perfectamente válido, puedes redefinir la función en ese único punto para rellenar el hueco.
- Iguala el valor del punto al límite; la curva ahora fluirá suavemente a través de él.
- Esto es reparar la continuidad: posible únicamente en el tipo evitable.
The curve behind the hole · La curva detrás del agujero
y = x + 3
The cancelled function $y=x+3$ is a straight line — filling the hole just plots the point the line already passes through. · La función cancelada $y=x+3$ es una línea recta; rellenar el agujero simplemente traza el punto por el que la línea ya pasa.
Solving for a mystery constant
- Often a piecewise function 分段函数 has an unknown constant $k$, and you must pick $k$ to make it continuous.
- The rule is condition (3): make the limit equal the value at the seam.
- Set the two pieces equal at the join point and solve for $k$.
- One equation, one unknown — clean algebra.
Resolver una constante misteriosa
- A menudo una función definida a trozos tiene una constante desconocida $k$, y debes elegir $k$ para que sea continua.
- La regla es la condición (3): iguala el límite con el valor en la unión.
- Iguala las dos piezas en el punto de unión y resuelve para $k$.
- Una ecuación, una incógnita — álgebra sencilla.
To make a piecewise function continuous at the seam, set the limit equal to the function ____. · Para que una función a trozos sea continua en la unión, iguale el límite con el valor de la función ____.
That is continuity condition (3): limit $=$ value. · Esa es la condición de continuidad (3): límite $=$ valor.
A worked pattern
- Suppose $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ is to be continuous at $x=2$.
- Left limit: $2+k$. Right value: $3(2)-1=5$.
- Continuity needs $2+k=5$, so $k=3$.
- With $k=3$ the two pieces meet exactly — no jump, a continuous function.
Un patrón resuelto
- Supongamos que $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ debe ser continua en $x=2$.
- Límite por la izquierda: $2+k$. Valor por la derecha: $3(2)-1=5$.
- La continuidad requiere que $2+k=5$, por lo tanto $k=3$.
- Con $k=3$, las dos piezas se encuentran exactamente — sin saltos, una función continua.
For · A favor $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ continuous at $x=2$, find $k$. · Para $f(x)=\begin{cases}x+k,&x;<2\\3x-1,&x;\ge2\end{cases}$ continua en $x=2$, encuentre $k$.
Set pieces equal at $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$. · Igualar las partes en $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Know what cannot be fixed
- Only removable holes are repairable — the limit must already exist.
- A jump (unequal one-sided limits) has a gap of real width: no single redefinition closes it.
- An infinite discontinuity blows up: no value tames an asymptote.
- So first classify; if the two-sided limit is missing, the discontinuity is permanent.
Saber qué no se puede reparar
- Solo los huecos evitables son reparables: el límite ya debe existir.
- Un salto (límites laterales desiguales) tiene un espacio real de amplitud: ninguna redefinición única lo cierra.
- Una discontinuidad infinita explota: ningún valor calma una asíntota.
- Así que primero clasifica; si falta el límite bilateral, la discontinuidad es permanente.
Which discontinuity can be removed by redefining a single point? · ¿Qué discontinuidad puede eliminarse redefiniendo un solo punto?
Only the removable type has a two-sided limit to match; jumps and blow-ups cannot be fixed. · Solo el tipo evitable tiene un límite bilateral para igualar; los saltos y las explosiones no se pueden corregir.
Redefining $f(c)$ can create a two-sided limit that did not exist before. · Redefinir $f(c)$ puede crear un límite bilateral que no existía antes.
A single point does not affect the limit; if the sides disagree, redefining changes nothing. · Un solo punto no afecta el límite; si los lados no coinciden, redefinir no cambia nada.
Select all · todos discontinuities that cannot be removed. · Seleccione todas las discontinuidades que no se pueden eliminar.
Anything without a two-sided limit is permanent; only the removable hole can be filled. · Cualquier cosa sin un límite bilateral es permanente; solo el agujero evitable se puede rellenar.
You can only "remove" a discontinuity where the two-sided limit already exists. If the left and right limits differ, setting $f(c)$ to any number still leaves the sides disagreeing — the function stays discontinuous. Redefining a point never creates a limit that wasn't there.
Solo puedes "eliminar" una discontinuidad donde el límite bilateral ya existe. Si los límites laterales difieren, asignar a $f(c)$ cualquier número dejará aún que los lados estén en desacuerdo — la función seguirá siendo discontinua. Redefinir un punto nunca crea un límite que no estaba allí.
To remove the hole of $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ at $x=5$, define $f(5)$ equal to the limit. What value? · Para eliminar el agujero de $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ en $x=5$, defina $f(5)$ igual al límite. ¿Qué valor?
Limit $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, so $f(5)=10$. · Límite $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, entonces $f(5)=10$.
Find $c$ so that $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ is continuous at $x=3$.
- The limit: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Continuity requires $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Setting $c=6$ fills the hole; $f$ is now continuous at $3$.
Encuentra $c$ para que $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x;\neq3\\ c,&x;=3\end{cases}$ sea continua en $x=3$.
- El límite: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- La continuidad requiere que $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Al establecer $c=6$ se rellena el hueco; $f$ es ahora continua en $3$.
A removable discontinuity is repaired by redefining $f(c)$ to equal the (existing) limit. For a piecewise function with an unknown constant, set the pieces equal at the join — limit $=$ value — and solve. Jump and infinite discontinuities have no two-sided limit, so they cannot be removed.
Una discontinuidad evitable se repara redefiniendo $f(c)$ para que sea igual al (existente) límite. Para una función definida a trozos con una constante desconocida, iguala las piezas en la unión — límite $=$ valor — y resuelve. Las discontinuidades de salto e infinitas no tienen límite bilateral, por lo que no pueden eliminarse.