Coordinate geometry · Geometría analítica
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|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | pendiente |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | punto medio |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | mediatriz |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
The mathematics of location
- GPS satellites pinpoint your location to within a few metres using coordinate geometry.
- Every map, every blueprint, every computer graphic relies on the same core ideas: lines, circles, and the distances between points.
La matemática de la ubicación
- Los satélites GPS localizan tu posición con una precisión de unos pocos metros utilizando geometría analítica.
- Cada mapa, cada plano y cada gráfico por computadora se basa en los mismos conceptos fundamentales: líneas, círculos y las distancias entre puntos.
Straight lines
- Gradient 斜率 of the line through $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Line equations: $y = mx + c$ (slope-intercept form), or $y - y_1 = m(x - x_1)$ (point-slope form).
- Parallel lines have equal gradients; perpendicular 垂直 lines have gradients that multiply to $-1$.
Worked example. Line through $(2, 3)$ and $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Equation: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Perpendicular gradient trap. If a line has gradient $2$, the perpendicular gradient is $-\dfrac{1}{2}$, not $-2$. You must flip the fraction and change the sign.
Líneas rectas
- Pendiente de la recta que pasa por $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Ecuaciones de la recta: $y = mx + c$ (forma pendiente-ordenada al origen), o $y - y_1 = m(x - x_1)$ (forma punto-pendiente).
- Las rectas paralelas tienen igual pendiente; las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es $-1$.
Ejemplo resuelto. Recta que pasa por $(2, 3)$ y $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Ecuación: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Trampa de la pendiente perpendicular. Si una recta tiene pendiente $2$, la pendiente perpendicular es $-\dfrac{1}{2}$, no $-2$. Debes invertir la fracción y cambiar el signo.
The straight line · La recta
y = ax + b
The · El gradient a tilts the line; the intercept b slides it up and down. · La pendiente a inclina la recta; el intercepto b la desplaza verticalmente.
What is the gradient of the line through (2, 3) and (6, 11)? · ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (2, 3) y (6, 11)?
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
A line has gradient 2. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Una recta tiene pendiente 2. ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a ella?
Perpendicular gradients multiply to −1, so the gradient is −1/2 = −0.5. · Las pendientes perpendiculares multiplicadas dan −1, por lo tanto la pendiente es −1/2 = −0.5.
Midpoints 中点 and parallel lines
- The midpoint of $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- The perpendicular bisector 垂直平分线 passes through the midpoint with the perpendicular gradient.
Puntos medios y líneas paralelas
- El punto medio de $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- La mediatriz pasa por el punto medio con la pendiente perpendicular.
The midpoint of (2, 3) and (8, 7) has x-coordinate: · La coordenada x del punto medio de (2, 3) y (8, 7) es:
Midpoint x = (2 + 8)/2 = 5. · Punto medio x = (2 + 8)/2 = 5.
Circles
- A circle, centre $(a, b)$, radius $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- An expanded form (e.g. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → complete the square in $x$ and $y$ to find the centre and radius.
The equation $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ describes a circle with centre $(3, -2)$ and radius $5$.
Círculos
- Un círculo, centro $(a, b)$, radio $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- Una forma desarrollada (ej. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → completa el cuadrado en $x$ e $y$ para encontrar el centro y el radio.
La ecuación $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ describe un círculo con centro $(3, -2)$ y radio $5$.
The circle (x − 3)² + (y + 2)² = 25 has what radius? · El círculo (x − 3)² + (y + 2)² = 25 tiene qué radio?
r² = 25, so r = 5; the centre is (3, −2). · r² = 25, luego r = 5; el centro es (3, −2).
The circle x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 has centre: · El círculo x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 tiene centro en:
Complete the square: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Centre is (3, −5). · Completar el cuadrado: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. El centro es (3, −5).
Tangents 切线 to circles
- A tangent touches the circle once and is perpendicular to the radius there.
- This right-angle fact solves most circle problems: find the radius gradient, then the tangent gradient is $-\dfrac{1}{m}$.
Tangentes a círculos
- Una tangente toca el círculo una sola vez y es perpendicular al radio en ese punto.
- Este hecho del ángulo recto resuelve la mayoría de los problemas de círculos: encuentra la pendiente del radio, luego la pendiente de la tangente es $-\dfrac{1}{m}$.
A tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point where it touches. · Una tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto.
This right-angle fact solves most circle problems. · Este hecho del ángulo recto resuelve la mayoría de los problemas sobre círculos.
You've got it
- gradient $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; perpendicular gradients multiply to $-1$
- circle: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, radius $r$
- a tangent is perpendicular to the radius at the point of contact
- midpoint $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Ya lo tienes
- pendiente $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; las pendientes perpendiculares multiplican $-1$
- círculo: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centro $(a,b)$, radio $r$
- una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto
- punto medio $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$