Polar coordinates · Coordenadas polares
| English | Español |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | cartesiano |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordenadas polares |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | simetría rotacional |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | cardioide |
| sector/ˈsektə/ | sectorial |
The coordinate system that simplifies circles
- Describing a spiral or a circle in Cartesian 笛卡尔 coordinates requires messy equations. In polar coordinates 极坐标, a circle is just $r = \text{constant}$.
- Polar coordinates are natural for anything with rotational symmetry 旋转对称 — from planetary orbits to radar screens.
El sistema de coordenadas que simplifica los círculos
- Describir una espiral o un círculo en coordenadas cartesianas requiere ecuaciones complejas. En coordenadas polares, un círculo es simplemente $r = \text{constant}$.
- Las coordenadas polares son naturales para cualquier cosa con simetría rotacional — desde órbitas planetarias hasta pantallas de radar.
Polar coordinates
- Polar coordinates give a point by distance $r$ from the origin and angle $\theta$.
- Links to Cartesian:
Worked example. The point $(r, \theta) = (5, 60°)$ in Cartesian: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. So the point is $(2.5, 4.33)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ convert to Cartesian by $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$
A spiral staircase: spirals are described naturally in polar coordinates (r, theta)
Coordenadas polares
- Las coordenadas polares definen un punto por su distancia $r$ al origen y el ángulo $\theta$.
- Relación con las cartesianas:
Ejemplo resuelto. El punto $(r, \theta) = (5, 60°)$ en cartesianas: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. Por lo tanto, el punto es $(2.5, 4.33)$.
Las coordenadas polares $(r,\theta)$ se convierten a cartesianas mediante $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$
Una escalera de caracol: las espirales se describen naturalmente en coordenadas polares (r, theta)
Polar coordinates · Coordenadas polares
r = f(θ)
In polar form a point is (r, θ). Beautiful curves — roses, cardioids, spirals — come from r = f(θ). · En forma polar, un punto es (r, θ). Curvas bellas — rosas, cardióides, espirales — provienen de r = f(θ).
In polar coordinates, the x-coordinate is given by: · En coordenadas polares, la coordenada x se da por:
x = r cos θ and y = r sin θ. · x = r cos θ y y = r sin θ.
Convert (r, θ) = (5, 60°) to Cartesian. What is x = r cos 60°? · Convierte (r, θ) = (5, 60°) a cartesianas. ¿Cuál es x = r cos 60°?
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
For the point (3, 4) in Cartesian, r² = x² + y². Find r². · Para el punto (3, 4) en cartesianas, r² = x² + y². Encuentra r².
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Polar curves
- Common polar curves:
r = 4cos θ is a circle of radius 2 centred at (2, 0) — polar form makes it a one-line equation.
- $r = a$ — a circle of radius $a$ centred at the origin.
- $r = a\cos\theta$ — a circle of radius $\dfrac{a}{2}$ centred at $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — a cardioid 心脏线 (heart shape).
Curvas polares
- Curvas polares comunes:
r = 4cos θ es un círculo de radio 2 centrado en (2, 0) — la forma polar lo convierte en una ecuación de una sola línea.
- $r = a$ — un círculo de radio $a$ centrado en el origen.
- $r = a\cos\theta$ — un círculo de radio $\dfrac{a}{2}$ centrado en $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — una cardioide (forma de corazón).
The polar curve r = 4cos θ is a circle. What is its radius? · La curva polar r = 4cos θ es un círculo. ¿Cuál es su radio?
r = 4cos θ gives x² + y² = 4x, i.e. (x−2)² + y² = 4 — a circle of radius 2. · r = 4cos θ da x² + y² = 4x, es decir, (x−2)² + y² = 4 — un círculo de radio 2.
The polar curve r = a(1 + cos θ) is called a: · La curva polar r = a(1 + cos θ) se llama:
r = a(1 + cos θ) traces a heart-shaped curve called a cardioid. · r = a(1 + cos θ) traza una curva con forma de corazón llamada cardioide.
Polar area
- Sector 扇形 area: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
Don't forget the $\dfrac{1}{2}$. The polar area formula has a factor of $\dfrac{1}{2}$ that's easy to miss. It comes from the area of a thin triangular sector: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
A cardioid r = 1 + cos theta, a curve sketched directly in polar form
Área polar
- Área de sector: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
No olvides el $\dfrac{1}{2}$. La fórmula del área polar tiene un factor de $\dfrac{1}{2}$ que es fácil pasar por alto. Proviene del área de un sector triangular delgado: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
Una cardioide r = 1 + cos theta, una curva dibujada directamente en forma polar
The area of a polar sector is ½∫r² dθ. · El área de un sector polar es ½∫r² dθ.
This is the standard polar area formula. · Esta es la fórmula estándar del área polar.
Converting curves
- Example: $r = 4\cos\theta$ → multiply by $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, a circle radius $2$.
Conversión de curvas
- Ejemplo: $r = 4\cos\theta$ → multiplica por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, un círculo de radio $2$.
You've got it
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- polar sector area $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ is a circle of radius 2 centred at $(2, 0)$
Lo has entendido
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- Área de sector polar $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ es un círculo de radio 2 centrado en $(2, 0)$