Summation of series · Suma de series
| English | Español |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | sumación |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | método de diferencias |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | telescopio |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | converger |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | suma al infinito |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | fracciones parciales |
The sum that Gauss solved at age 10
- Young Gauss's teacher set the class the task of adding $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, expecting an hour's work. Gauss saw the pattern instantly: pair the first and last ($1 + 100 = 101$), the second and second-to-last ($2 + 99 = 101$), and so on — 50 pairs of 101 = 5050.
- Summation 求和 formulas turn long additions into simple algebra.
La suma que Gauss resolvió a los 10 años
- El profesor de la joven Gauss asignó a la clase la tarea de sumar $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, esperando que tardaran una hora. Gauss observó el patrón al instante: emparejar el primero y el último ($1 + 100 = 101$), el segundo y el penúltimo ($2 + 99 = 101$), y así sucesivamente — 50 pares de 101 = 5050.
- Fórmulas de sumatoria convierten sumas largas en álgebra sencilla.
Standard summation results
Worked example. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Summing 1 to n by pairing the ends: the total is n(n+1)/2
Resultados estándar de sumatorias
Ejemplo resuelto. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Sumar de 1 a n emparejando los extremos: el total es n(n+1)/2
Summation of series · Suma de series
Sₙ = Σ uₖ
Add the terms one by one — the partial sum climbs toward its limit. · Sume los términos uno por uno — la suma parcial asciende hacia su límite.
Using Σr = ½n(n+1), what is the sum of the first 5 integers? · Usando Σr = ½n(n+1), ¿cuál es la suma de los primeros 5 enteros?
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
Using Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), what is the sum of the first 3 squares? · Usando Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), ¿cuál es la suma de los primeros 3 cuadrados?
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
Using Σr³ = ¼n²(n+1)², what is the sum of the first 3 cubes? · Usando Σr³ = ¼n²(n+1)², ¿cuál es la suma de los primeros 3 cubos?
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Note: 36 = 6² = (1+2+3)². · ¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Nota: 36 = 6² = (1+2+3)².
Complete the standard result: Σr (from 1 to n) = ______ n(n+1). · Complete el resultado estándar: Σr (desde 1 hasta n) = ______ n(n+1).
The sum of the first n integers is ½n(n+1). · La suma de los primeros n enteros es ½n(n+1).
Splitting sums
- Split a sum into standard pieces:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. This beautiful identity means the sum of cubes equals the square of the sum of the first $n$ integers. It's easy to verify: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Descomposición de sumas
- Separe una suma en piezas estándar:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. Esta hermosa identidad significa que la suma de cubos es igual al cuadrado de la suma de los primeros $n$ enteros. Es fácil verificarlo: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) from r=1 to n = n(n+2). For n=4, find the sum. · Σ(2r+1) desde r=1 hasta n = n(n+2). Para n=4, encuentre la suma.
4 × 6 = 24. Check: 3+5+7+9 = 24. · 4 × 6 = 24. Verificación: 3+5+7+9 = 24.
The method of differences 差分法
- If each term is $f(r) - f(r+1)$, almost everything cancels (telescopes 裂项相消).
- From the sum to $n$ terms you can see if a series converges 收敛 and find its sum to infinity 无穷和.
El método de diferencias
- Si cada término tiene la forma $f(r) - f(r+1)$, casi todo se cancela (telescopia).
- A partir de la suma hasta $n$ términos, puede determinar si una serie converge y hallar su suma infinita.
In the method of differences, if each term is f(r) − f(r+1), most terms cancel (telescope). · En el método de diferencias, si cada término es f(r) − f(r+1), la mayoría de los términos se cancelan (telescopio).
Consecutive terms cancel, leaving only the first and last pieces. · Los términos consecutivos se cancelan, dejando solo las primeras y últimas partes.
Σ 1/(r(r+1)) from r=1 to ∞ telescopes to 1 − 1/(n+1). As n→∞, the sum to infinity is? · Σ 1/(r(r+1)) desde r=1 hasta ∞ telescopia a 1 − 1/(n+1). Cuando n→∞, ¿cuál es la suma al infinito?
As n→∞, 1/(n+1)→0, so the sum approaches 1. · Cuando n→∞, 1/(n+1)→0, por lo que la suma se aproxima a 1.
Worked example — method of differences
- Find $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Partial fractions 部分分式: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Sum telescopes: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- As $n \to \infty$: sum to infinity $= 1$.
- A series is convergent when its sum to $n$ terms approaches a limit.
Ejemplo resuelto — método de diferencias
- Calcule $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Fracciones parciales: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- La suma telescópica: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- Cuando $n \to \infty$: la suma infinita $= 1$.
- Una serie es convergente cuando su suma hasta $n$ términos se aproxima a un límite.
You've got it
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- split sums into standard pieces
- method of differences telescopes $f(r) - f(r+1)$
Ya lo dominas
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- descomponga las sumas en piezas estándar
- el método de diferencias hace que $f(r) - f(r+1)$ telescopie