Electromagnetismo

Este es el séptimo curso de Ingeniería Eléctrica Universitaria: electromagnetismo — la física detrás de cada circuito, antena y motor. Los circuitos ocultan los campos dentro de los cables; este curso abre la caja.

• La unidad 7.1 repasa el kit de cálculo vectorial (operadores de EE02, ahora con coordenadas y simetrías).
• Las unidades 7.2–7.4 construyen estática: electrostática, magnetostática y las ecuaciones de Maxwell ensambladas.
• Las unidades 7.5–7.6 propagan ondas y las guían por líneas de transmisión.
• La unidad 7.7 introduce guías de onda y antenas.

La historia continua es un enlace: una conexión de radio de 3 GHz entre dos placas sobre una mesa: sus campos, su onda, su cable, su guía, sus antenas. Cada respuesta de campo a continuación se calcula de dos formas (Gauss vs integración directa; Ampère vs Biot-Savart), y cada respuesta de onda se verifica frente a un caso límite (espacio libre, conductor perfecto, corriente continua).

Por qué importa. El receptor GPS de un teléfono escucha −130 dBm; si eso el trabajo se decide por la divergencia y el rotacional. Los operadores de EE02 son los gramática; aquí toman coordenadas y aprenden el atajo de simetría que hace que la geometría real sea manejable.

La idea, con una imagen. Un campo tiene un flujo de salida por volumen (la divergencia) y una circulación por área (el rotacional). Antes de tocar una integral, verifica la simetría de la fuente: simetría esférica completa → Ley de Gauss en una esfera ($dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$); cilíndrica → un cilindro coaxial ($dA = r\,dφ\,dl$); ninguna → integración directa a lo largo de la fórmula del campo.

La derivación. El teorema de la divergencia

dice que el flujo neto de salida del campo a través de una superficie cerrada es igual al volumen integral de sus fuentes. Para una fuente simétrica, la integral superficial se colapsa en $E \times A$; resolver para el campo entonces toma solo una línea — esa línea única es cada ejemplo de ley de Gauss en este curso.

Ejemplo resuelto 1 — divergencia con coordenadas. Toma $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$, por lo tanto en el punto $(2, 0, 0)$ la divergencia es 12 por unidad de volumen. Verifique en el punto $(−2, 0, 0)$: el campo aún apunta a lo largo de $+x$ ($3x^{2}$ nunca negativo), pero la divergencia es −12 — el signo rastrea cómo cambia el campo (la densidad de fuente), no hacia dónde apunta.

Ejemplo resuelto 2 — el teorema en un cubo. El flujo de ese $\mathbf{F}$ hacia fuera del cubo unitario $[0,1]^{3}$, por la ruta volumétrica: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$. Por la ruta superficial: solo la cara $x = 1$ transporta flujo ($3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$; la cara $x = 0$ tiene $3x^{2} = 0$, las otras cuatro son paralelas a $\mathbf{F}$) — total 3 ✓. Ambas rutas, un solo número: el teorema es una identidad contable que siempre puedes verificar.

Errores comunes. Integrar $r^{2}$ pero diferenciar $1/r^{2}$ (la mayoría de ejemplos de Gauss ocultan uno de estos pasos — escribe ambos explícitamente). Olvidar the sphere's $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ has an $r^{2}$ that cancels the field's $1/r^{2}$ — esa cancelación ES el método. Y aplicar la ley de Gauss a fuentes asimétricas: sin simetría, sin $E \times A$, sin atajos.

Resumen. Divergencia = densidad de salida, rotacional = densidad de circulación; la simetría elige la superficie; el teorema de divergencia es la verificación de dos rutas que hace que cada respuesta aquí sea auto-verificable.

Por qué importa. Cada condensador, cada fallo de aislamiento, cada sensor táctil es un problema de electrostática con una etiqueta de componente.

La idea, con una imagen. El campo de Coulomb de una carga puntual, $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$, se agrupa en la ley de Gauss:

y la simetría convierte la integral en aritmética: para una fuente esféricamente simétrica, $E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$.

La deducción. Dentro de una esfera uniformemente cargada de radio $a$ y densidad $\rho$, la carga encerrada crece como $r^{3}$ mientras que el área de la esfera de Gauss crece como $r^{2}$:

El potencial apila el campo: $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$; la capacitancia de una esfera aislada sigue, $C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ — aproximadamente 1.1 pF por cm de radio, por qué los objetos en el espacio libre apenas se acoplan. En una interfaz dieléctrica las condiciones de contorno son: tangencial $E$ continua, normal $D = \varepsilon E$ saltando según cualquier carga superficial libre.

Ejemplo resuelto 1 — la esfera, ambas regiones. Con $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$ y $a = 2$ cm: en la superficie $r = a$, ambas fórmulas dan $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ un solo valor, dos rutas. En $r = 4$ cm (el doble del radio) la forma exterior da $753/4 = 188$ V/m — la caída $1/r^{2}$, una octava hacia afuera.

Ejemplo resuelto 2 — escalar al dieléctrico. Mantener la misma densidad libre carga libre y permitir que un dieléctrico homogéneo y lineal llene todo el espacio, dentro y fuera de la región cargada. Con $\varepsilon_{r} = 4$, el campo en todas partes disminuye en 4× y el valor superficial se convierte en 188 V/m. El polarización cambia $E$, mientras que $D = \varepsilon E$ permanece sin cambios para los carga libre misma. La carga ligada dentro de la esfera es $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. Se distribuye a través del volumen cargado. No hay carga ligada adicional de superficie en $r = a$, porque el dieléctrico es el mismo en ambos lados y la polarización es continua allí. Una esfera dieléctrica rodeada por vacío es un problema de valores en frontera diferente.

Errores comunes. Usar $4\pi r^{2}$ cuando la geometría es un cilindro ($2\pi r l$). Mezclar $\varepsilon_{0}$ y $\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ a mitad del problema — elija una convención por problema. Y aplicar la fórmula externa (carga puntual) dentro de la esfera: la carga encerrada, no la carga total, es lo que Gauss observa.

Resumen. Ley de Gauss más simetría: $E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$; la esfera crece linealmente dentro, decrece como $1/r^{2}$ fuera, coincide en la superficie. Un dieléctrico divide los campos por $\varepsilon_{r}$ y almacena el diferencia como carga ligada.

Por qué importa. Motores, relevadores, imanes de RMN y todo inductor comienzan con el mismo par de leyes: Biot-Savart para el caso general, Ampère cuando la simetría es favorable.

La idea, con una imagen. Las corrientes generan campos. Ley de Biot-Savart integra la contribución de cada elemento de corriente; Ley de Ampère $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ envuelve el campo alrededor de la corriente. La prueba de simetría de la Unidad 7.1 decide cuál usar.

La derivación. Para un solenoide infinito con $n$ vueltas por metro, tome un bucle amperiano rectangular con un lado largo dentro (longitud $l$), uno fuera, y los lados cortos cruzando las espiras. La corriente encerrada es $n l I$; el campo exterior de un solenoide infinito se anula por cancelación, y los lados cortos no contribuyen nada (campo perpendicular a Flujo magnético $B \cdot l = \mu_{0} n l I$ conduce a

Flujo magnético $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ conduce a inductancia $L = N\Phi/I$; para el solenoide, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$. El en un círculo de radio $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ — la órbita ciclotrónica. entra en un círculo de radio $r = mv/qB$ — la órbita ciclotrónica.

1 A: $n = 1000$ mT dentro, uniforme $I = 2$ A: $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mT dentro, uniforme por eso la prueba de simetría viene primero: una línea en lugar de una página. por eso la prueba de simetría viene primero: una línea en vez de una página.

2 m/s moviéndose perpendicularmente a un campo de $1\ \mu$ T siente $10^{6}$ m/s moviéndose perpendicularmente a un campo de $1$ T siente $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N — y gira en un radio de $r = mv/qB$: para un electrón ($m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg), $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$m — el radio ciclotrónico que determina la geometría del magnetrón y del espectrómetro. Verifique la velocidad: un electrón a $10^{6}$ m/s transporta 2.85 eV — cómodamente no relativista, por lo que la fórmula es exacta.

Errores comunes. Olvidar que la ley de Ampère requiere la corriente TOTAL encerrada corriente (bucle con $N$ vueltas → $NI$). Asumir que $\mathbf{B}$ es continua a través de una lámina de corriente (su componente tangencial salta en $\mu_{0}K$). Y usar la fórmula del solenoide para una bobina corta: "infinito" significa longitud diámetro, o el campo es más débil y no uniforme.

Resumen. Ampère más simetría: $B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$; el solenoide infinito concentra el flujo, $B = \mu_{0}nI$, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$; mover carga circula en $r = mv/qB$.

Por qué importa. Cada radio, cada fotón, cada acoplamiento inalámbrico de cargador depende del único término que Maxwell añadió para cerrar el circuito.

La idea, con una imagen. Estática + corriente de desplazamiento completa el conjunto:

Los cuatro cuadros forman un bucle: la circulación de $\mathbf{E}$ genera un cambio de $\mathbf{B}$, la circulación de $\mathbf{B}$ genera un cambio de $\mathbf{E}$ — ondas autosostenibles. ondas.

La derivación. Conservación de carga $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ exige la corrección: tomar la divergencia de la ley original de Ampère ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) y el lado izquierdo es idénticamente cero mientras que el lado derecho es $-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ —no nulo cuando la carga se acumula. Agregar $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$ lo corrige, porque la ley de Gauss convierte la divergencia de ese término en exactamente $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$. El ciclo se cierra.

Ejemplo resuelto 1 — la amperio faltante del condensador. Un condensador de placas paralelas se carga a $dQ/dt = 1$ A. Entre las placas no existe corriente de conducción, pero un bucle amperriano alrededor del cable debe arrojar siempre el mismo 1 A sin importar qué superficie se utilice para cerrarlo. Entre las placas $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, por lo tanto $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — la corriente de desplazamiento ES la corriente de conducción, numéricamente.

Ejemplo resuelto 2 — escalar a la velocidad de onda. En espacio libre de fuentes ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), tome el rotacional de la ecuación de rotacional de $\mathbf{E}$ y sustituya la ecuación $\mathbf{B}$:

la ecuación de onda con velocidad $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$. Inserte los números: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ m/s — luz, de dos constantes medidas en una bancada. El balance de enlaces del historia en curso comienza aquí.

Errores comunes. Tratar la corriente de desplazamiento como un ajuste contable opcional (es lo que hace consistentes las ecuaciones y lo que transporta la onda). olvidar qué ecuación tiene el signo menos (la de Faraday: es la ley de Lenz, el campo inducido que se opone al cambio). Y aplicando las formas estáticas a antenas: la radiación ES el término correctivo haciendo su trabajo.

Resumen. Cuatro ecuaciones, un bucle; la corriente de desplazamiento cierra la conservación de carga y, en el vacío, produce la ecuación de ondas en conservación y, en el vacío, produce la ecuación de ondas en $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

Por qué importa. Wi-Fi, radar, luz solar y la enlace de banco 3 GHz portadora son todas la misma solución: la onda plana.

The idea, with a picture. In source-free space the wave equation's simplest solution is a plane wave: $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ and the propagation direction mutually perpendicular, in phase, with $B = E/c$ del espacio libre establece la relación entre $\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$ of free space sets the ratio of $E$ to $H$; the Poynting vector $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ puntos a lo largo de la propagación con $S = E^{2}/\eta_{0}$ (instantáneo; con rms $E$. La densidad de potencia se deduce de la impedancia: $E_{0}$, por lo tanto $E_{0}^{2}/2\eta_{0}$ — un número por onda.

$\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$. La densidad de potencia se deriva de la impedancia: $\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$. La densidad de potencia se deriva de la impedancia: $B = (k/\omega)E = E/c$. The power density follows from the impedance: $H = E/\eta_{0}$, so $S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — one number per wave.

Ejemplo resuelto 1 — leer los números. Una onda de 100 V/m (rms) a 1 MHz: $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T; longitud de onda $\lambda = c/f = 300$ m; densidad de potencia $S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². Verificar la ruta de impedancia: $H = 100/377 = 0.265$ A/m, y $E \times H = 26.5$ ✓ — ambas rutas coinciden porque son la misma razón.

Ejemplo resuelto 2 — escalar hacia la piel del conductor. En un buen conductor**, la onda decae como $e^{-\alpha z}$ con profundidad de piel $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. Cobre ($\sigma = 5.8 \times 10^{7}$): a 50 Hz, $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ mm; a 1 GHz, $\delta = 2.1\ \mu$m — aproximadamente 4500 veces más delgada para veinte millones de veces la frecuencia ($\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ✓). Este único número explica por qué funcionan los blindajes, por qué la corriente de RF viaja por la superficie, y por qué las Las trazas de 3 GHz de bench link requieren cobre ancho y liso: a 3 GHz la corriente se concentra en los primeros 1.2 µm superiores, por lo que la rugosidad superficial y cualquier chapado en esa zona determinan las pérdidas (el chapado de oro protege contra la corrosión; pero tiene mayor resistencia que el cobre).

Errores comunes. Usar $c$ en un dieléctrico — la velocidad allí es $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ (≈ 0.67c en el coaxial inferior). Mezclar $E/H$ (377 Ω en el espacio) con $E/B$ ($c$ — una velocidad, no una impedancia). Y olvidar que los campos de la onda están en fase solo en un medio SIN PÉRDIDAS.

Resumen. Onda plana: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; los conductores absorben ondas como $e^{-z/\delta}$ con $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

coaxial; en 40 GHz eso son seis longitudes de onda —ya no un circuito, sino un coaxial; a 3 GHz esto equivale a seis longitudes de onda — no es un circuito, sino una línea de transmisión.

La idea, con una imagen. Las ecuaciones del telegrafista tratan la línea como inductancia distribuida $L'$ y capacitancia $C'$ por metro: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$. Verifica qué modo tiene tu calculadora antes de cada pregunta. $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$. Sus soluciones son ondas de voltaje/corriente con impedancia característica $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$ y la línea $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

La deducción. Diferencie la primera ecuación en $x$ y la segunda en $t$ y eliminar $\partial^{2}i/\partial x \partial t$: una ecuación de ondas para $v$ con velocidad $1/\sqrt{L'C'}$. En una carga $Z_{L}$, la coincidencia da el coeficiente de reflexión $\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$: un cortocircuito ($\Gamma = -1$) invierte, uno abierto ($\Gamma = +1$) duplica el voltaje y cancela la corriente — el diagrama de rebote rastrea cada rebote.

1 nH/m y 316 pF/m: $L' = 250$ nH/m y $C' = 100$ pF/m: $Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ ✓ (el cable estándar — los números fueron elegidos para que así fuera); $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67c. Los 40 cm del enlace de banco son SEIS longitudes de onda a 3 GHz ($\lambda = v_{p}/f = 6.7$ cm) — demostrando el punto "línea, no circuito" con las partes en el banco.

Ejemplo resuelto 2 — el escalón de extremo abierto. Conduzca esa línea de 50 Ω con un 12 V paso, de circuito abierto. La onda incidente transporta 12 V y $12/50 = 0.24$ A. En el extremo abierto, $\Gamma = +1$: la tensión reflejada +12 V duplica el voltaje en la carga a 24 V y la corriente reflejada $-0.24$ A cancela la corriente directa hasta cero — un circuito abierto no consume corriente continua ✓, y la relación de ondas estacionarias (VSWR) tiende al infinito; esta es la firma del circuito abierto que mide el instrumento de ondas estacionarias.

Errores comunes. Usar $Z_{0}$ como resistencia física (es una proporción; una línea sin pérdidas de 50 Ω no disipa energía). Calcular $\lambda$ con $c$ en lugar de $v_{p}$ (error del 30% en Teflón). Y olvidar la reflexión en el lado del generador: una fuente desadaptada vuelve a reflejar, por lo que el diagrama de rebotes debe incluirlo. inclúyalo.

Resumen. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; los abiertos duplican el voltaje, los cortocircuitos lo cancelan; Las líneas largas son ondas, y el diagrama de rebote es el registro contable.

Por qué importa. Por encima de ~10 GHz, el coaxial pierde demasiado; el enlace de bancada cualquier enlace de radio siempre es una antena. La idea, con una imagen. Un tubo conductor hueco guía las ondas solo

La idea, con una imagen. Una tubería conductora hueca guía ondas únicamente por encima de la frecuencia de corte: el modo dominante del guía rectangular se corta en $f_{c} = c/(2a)$ ($a$ = dimensión ancha). Por encima del corte, el guía longitud de onda estira: $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — la onda zigzaguea, por lo que caben menos ciclos axiales por metro de tubo. Las antenas cierran el enlace: la media onda dipolo tiene ganancia 2.15 dBi y resistencia de entrada ≈ 73 Ω; la ecuación de Friis cuantifica todo el enlace:

La derivación. Entre las placas de la guía, el campo debe caber un medio onda estacionaria a través de $a$: $a = \lambda_{c}/2$ al corte, por lo tanto $f_{c} = c/2a$. A lo largo de la guía, la constante de propagación satisface $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$; despejando para la longitud de onda se obtiene la fórmula de estiramiento anterior. La cadena de Friis multiplica: potencia de transmisión × ambas ganancias × el factor de propagación $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — una relación de áreas, la apertura de la antena sobre el área de la esfera.

Ejemplo resuelto 1 — WR-90 en banda X. El guía de ondas WR-90 tiene $a = 22.86$ mm: $f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — banda X (8.2–12.4 GHz) está por encima del corte. En 10 GHz ($\lambda = 30$ mm): $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$ mm — 33% más larga que en el espacio libre. Verificar el límite: cuando $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (la onda se detiene); cuando $f \to \infty$, $\lambda_{g} \to \lambda$ (el zigzag desaparece) ✓.

Ejemplo resuelto 2 — el presupuesto del enlace de banco. Dos 10-dBi (G = 10) antenas, separadas 1 m en la bancada, a 3 GHz ($\lambda = 0.1$ m): $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB de pérdida, aún manejable en la bancada. Escalando a las mismas placas separadas 1 km aparte: $(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$, veces 100 = $6.3 \times 10^{-9}$ (−82 dB) — el presupuesto de enlace que determina los tamaños del plato. Uno fórmula, dos escalas, y la razón entre ellas es pura geometría ($R^{2}$, un factor de $10^{6}$ ✓).

Errores comunes. Usar la dimensión ESTRECHA del guía para $f_{c}$ (el corte está definido por la dimensión ancha). Aplicar $\lambda_{g}$ como si fuera $\lambda$ en Friis (la longitud de onda en espacio libre pertenece allí). Y citar ganancia de dipolo en dB sin la "i": 2.15 dBi es relativo al isotrópico; relativo a un dipolo es cero.

Resumen. Guía: $f_{c} = c/2a$, $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ (estirada, infinita en el corte). Antenas: Friis $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — la geometría decide el último término cada vez.