Análisis de Circuitos II (CA)

Este es el cuarto curso de Ingeniería Eléctrica Universitaria: análisis de circuitos CA — circuitos impulsados por senoides, que es cómo casi toda la energía eléctrica se genera y transporta. La onda 1 resolvió CC; las herramientas de IE02 (números complejos, ecuaciones diferenciales, Laplace) ahora se amortizan solas.

• La Unidad 4.1 convierte las senoides en aritmética: el fasor y la impedancia.
• Las Unidades 4.2–4.4 lo aplican: potencia CA, trifásica, respuesta de segundo orden y resonancia.
• Las unidades 4.5–4.7 amplían la visión: filtros y diagramas de Bode, circuitos en el dominio s y redes de dos puertos.

Cada unidad comienza con una historia, muestra una imagen antes del concepto formal, define términos con precisión, funciona con dos ejemplos progresivos cuyos números son verificada por máquina, nombra los errores clásicos y concluye con un resumen de tres líneas. El hábito de verificación de este curso: cada respuesta booleana se verifica mediante resumen. El hábito de verificación: cada respuesta fasorial se verifica en un segundo representación — polar frente a rectangular, o el dominio del tiempo frente al aritmética compleja. La aritmética compleja es solo contabilidad; las verificaciones mantienen la honestidad.

El voltaje de red cruza cero cien veces por segundo, sin embargo una resistencia allí disipa potencia estable — porque la amplitud y la fase se asientan en un patrón repetitivo. Una onda sinusoidal $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ se convierte en un fasor $V = V_{m}\angle\varphi$ — la amplitud y la fase, con la frecuencia entendida. Diferenciar multiplica por $j\omega$; así que a una sola frecuencia cada elemento obtiene una impedancia:

Todos los métodos DC — divisores, nodo/mall, Thévenin — se transfieren sin cambios con números complejos. La impedancia del inductor aumenta con la frecuencia (+90°); la del capacitor disminuye (−90°); la del resistor es constante (0°).

Ejemplo resuelto 1 (ambas representaciones coinciden). $R = 30\ \Omega$ en serie con $L$ tal que $\omega L = 40\ \Omega$, impulsado por $V = 100\angle 0^{\circ}$ V en esa frecuencia. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. Verificar en rectangular: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. El significado en el dominio del tiempo: $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — la corriente se retrasa porque el inductor se opone al cambio.

Ejemplo resuelto 2 (combinación en paralelo, escalonada). El mismo $R = 30\ \Omega$ ahora en paralelo con el inductor $\omega L = 40\ \Omega$: $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (verificado: $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, y $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). Nota: la impedancia en paralelo es menor que la magnitud de cualquiera de las ramas (24 < 30 < 40) y su ángulo (36.87°) se encuentra por debajo del ángulo del inductor 90°, tirado hacia el resistor — cada par en paralelo intercambia magnitud y ángulo en esta dirección.

Errores comunes. Sumar magnitudes de impedancias en paralelo (solo la suma compleja es válida). Mezclar configuraciones de grados en calculadoras con fórmulas en radianes. Olvidar que el fasor lleva amplitud (o RMS — elija una) la suma es legal). Mezclar configuraciones de calculadora en modo grados en fórmulas en radianes. Olvidar que el fasor lleva amplitud (o RMS — elegir uno convención por problema) consistentemente para V e I.

Resumen: una frecuencia → fasores; $Z_R$ plano, $Z_L$ arriba 90°, $Z_C$ abajo 90°; cada método DC se transfiere; verifique cada respuesta en la otra representación.

Un calentador de 1 kW y un capacitor de 1 kVA ambos extraen "1 k-algo" de la línea, pero solo la parte del calentador se factura como energía. Con fasor de voltaje $V$ y corriente $I$, potencia compleja $S = V\cdot I^{*}$:

con $\theta$ el ángulo entre V e I. El factor de potencia $\cos\theta$ es la fracción de la potencia aparente $|S| = VI$ que realiza trabajo real.

Ejemplo resuelto 1 (carga RL, verificada de dos formas). La carga anterior: $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, fp = 0.6 atrasado. Verificar: $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ y $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — la comprobación de fórmula de pérdidas. La corrección del factor de potencia añade paralelo capacitancia para suministrar potencia reactiva localmente: corregir 160 var a 100 V (50 Hz) requiere $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9\ \mu F$.

Ejemplo resuelto 2 (un motor trifásico, escalonado). Un motor equilibrado conectado en estrella en una fuente de 415 V (línea), 50 Hz tiene impedancia de fase $10 + j10\ \Omega$ por fase. Tensión de fase $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V; corriente de fase $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A (igual a la corriente de línea, corriente en estrella); ángulo de fase 45° en retraso. Potencia total $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — y la fórmula de línea $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ los ambos métodos coinciden. La ruta por fase también proporciona los datos faltantes: $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, fp 0.707 en retraso, y (para un motor conectado en triángulo con la misma impedancia) la corriente de fase sería $415/14.14 = 29.3$ A con corriente de línea $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ contabilidad.

Errores comunes. Usar voltaje de línea en la fórmula por fase (dividir por $\sqrt{3}$ primero). Olvidar que el factor de potencia del motor se aplica a ambas fórmulas. Corregir el factor de potencia al voltaje incorrecto — el condensador ve el voltaje en su propio punto de conexión.

Resumen: $S = VI^{*}$ se divide en P (facturable) y Q (prestado); las fórmulas de pérdida $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ son la verificación; la corrección capacitiva suministra Q localmente; análisis trifásico por fase con $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ (estrella) es la herramienta principal.

Cerrar un interruptor sobre un condensador cargado en serie con un inductor y la corriente no puede saltar — ni tampoco llegar instantáneamente —, por lo que la respuesta se curva a través de al menos una derivada más de lo que nunca requirió RC. Un RLC en serie tiene la ecuación diferencial $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$, con natural frecuencia $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ y amortiguamiento $\alpha = R/(2L)$. Tres regímenes:

• Sobreamortiguado ($\alpha > \omega_{0}$): dos decaimientos reales, sin oscilación.
• Críticamente amortiguado ($\alpha = \omega_{0}$): más rápido retorno sin oscilaciones.
• Subamortiguado ($\alpha < \omega_{0}$): oscilación decaente a $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

Ejemplo resuelto 1 (aritmética de regímenes). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$ rad/s; $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — críticamente amortiguado ($\alpha = \omega_{0}$). Cambiar $R$ a 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, subamortiguado con $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. La prueba de régimen es una comparación; el Factor de calidad $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ es 0.5 en amortiguamiento crítico y 1 en $R = 2\ \Omega$ — ligeramente amortiguado (alta Q) oscila más tiempo.

Ejemplo resuelto 2 (exponentes sobreamortiguados, verificados por máquina, escalados). Con $R = 8\ \Omega$ (mismos $L$, $C$): $\alpha = 20 > 10$ — sobreamortiguado, y los dos exponentes de decaimiento son $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (verificado por máquina). El tensión del capacitor liberada desde 1 V es $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (no instantaneous dando $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$: una caída rápida hacia el decaimiento lento. La lectura: la raíz rápida solo determina los inicial sobre el decaimiento lento. La lectura: solo la raíz rápida establece la cola — exactamente la regla del polo dominante EE$-2.68$ encontrada en Laplace. cola — exactamente la regla del polo dominante EE02 encontrada en Laplace.

Errores comunes. Comparar $R$ con $2\sqrt{L/C}$ en lugar de $\alpha$ con $\omega_{0}$ — la misma prueba, pero escríbala como se indica. Usar $\omega_{0}$ donde $\omega_{d}$ pertenece (la oscilación que ve es la frecuencia amortiguada). Olvidar la segunda condición inicial: dos almacenes de energía dan dos constantes.

Resumen: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, tres regímenes por una comparación; $\omega_{d}$ es el anillo visible; la raíz lenta posee la cola; dos almacenes → dos constantes → dos verificaciones en los extremos.

El circuito de sintonía de una radio selecciona una emisora de una banda congestionada haciendo que una frecuencia sea especial: en resonancia las partes imaginarias se cancelan, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, es decir, $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$. Allí $Z = R$ (puramente resistivo, mínimo), la corriente es máxima, y el ancho de banda $BW = R/L = \omega_{0}/Q$. Las mitades de la impedancia se cancelan aunque cada una sola pueda ser grande — $V_{L}$ y $V_{C}$ pueden exceder el voltaje de la fuente por el factor Q.

Ejemplo resuelto 1 (amplificación de voltaje, verificado). $R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$. En una fuente de 10 V, the current at resonance is $10/5 = 2$ A, and $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; ambos son 200 V, separados 180°, su suma es cero.

Ejemplo resuelto 2 (la banda de media potencia, escalada). El mismo circuito ancho de banda: $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s, y las frecuencias de media potencia se calculan en $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s — su diferencia es 50.0 ✓ (verificado por máquina). Se sitúan casi equitativamente a ambos lados de 1000; exactamente, $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (simétricas en un eje logarítmico). $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$ del máximo, y cada elemento reactivo sostiene $1/\sqrt{2}$ veces el voltaje de la fuente — aún hay amplificación, solo $Q/\sqrt{2} \approx 14$ veces el voltaje de la fuente — todavía amplificación, pero pasado su pico. Esta es la selectividad que vende un sintonizador: en 900 rad/s (una estación vecina dos anchos de banda lejos) la corriente desciende hasta $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — under a quarter of the resonant 2 A.

Errores comunes. Informar una ganancia de $Q$ sin verificar el otro elemento (ambos deben coincidir). Usar $f_{0}$ donde corresponde $\omega_{0}$ (factor $2\pi$). Believing resonance maximises power at any source impedance — it minimises |Z|, which maximises current only for a stiff source.

Summary: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R there, BW = ω₀/Q between the puntos de media potencia; cada voltaje reactivo es Q·fuente; verificar la ganancia en ambos elementos.

Un refuerzo de graves es un filtro: una banda elevada, el resto sin alterar. Un filtro pasa una banda y atenúa el resto; su función de transferencia $H(j\omega)$ tiene magnitud y fase. El gráfico de Bode representa $20\log_{10}|H|$ en dB frente al logaritmo de la frecuencia: cada polo contribuye con −20 dB/década por encima de su frecuencia de corte Ejemplo resuelto. Un RC paso-bajo con $\omega_{c} = 1/(RC)$, 20:

Ejemplo resuelto 1 (el paso bajo, extremidades verificadas). Un paso bajo RC con $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB y la fase −45°; en $10\omega_{c}$ la aproximación de línea recta indica −20 dB (exacto −20.04). Verifique los extremos: en baja frecuencia $H = 1$ (0 dB), en $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — cada década después de la frecuencia de corte pierde 20 dB, lo cual es la aritmética del decibelio $20\log_{10}10 = 20$.

Ejemplo resuelto 2 (el espejo paso alto, verificado por máquina, escalado). Cambiar la salida al resistor produce un paso alto con la misma $\omega_{c} = 6250$ rad/s: $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$; en $\omega_{c}$: $-3.01$ dB en $+45^{\circ}$; en $10\omega_{c}$: $-0.04$ dB en $+5.7^{\circ}$ (todo verificado por máquina) — el espejo exacto del paso bajo, con fase delantera y la banda de rechazo por debajo en lugar de por encima. Lectura del diseño: un rebote más pronunciado de 40 dB/década requiere dos secciones en cascada, y (con la carga entre ellos se consideró) la cascada multiplica las ganancias, por lo que los dB se suman — la misma lógica de encadenamiento que las matrices ABCD de unidad 4.7.

Errores comunes. Leer −3 dB como "media potencia perdida en el filtro" en el punto de inflexión (es media potencia entregada a la carga respecto a la banda media). Mezclar $\omega$ y $f$ en el mismo eje. Olvidar la fase: un filtro plano en magnitud puede distorsionar un pulso debido a su pendiente de fase.

Resumen: polos −20 dB/década por encima de su punto de inflexión, ceros +20; −3 dB y ±45° en el punto de inflexión; las asíntotas son la herramienta de diseño, la curva exacta la verificación.

La maquinaria de Laplace del EE02 se convierte en un método de circuitos: cada elemento recibe un modelo en el dominio s con condiciones iniciales como fuentes —

• Resistencia: $Z = R$.
• Inductor: $Z = sL$ más una fuente de voltaje en serie $Li(0^{-})$ (o fuente de corriente en paralelo $i(0^{-})/s$).
• Condensador: $Z = 1/(sC)$ más una fuente de corriente en paralelo $Cv(0^{-})$ (o fuente de voltaje en serie $v(0^{-})/s$).

Luego, todos los métodos DC aplican en $s$. Los polos de la respuesta portan la transitoria; los polos de la entrada portan el estado estacionario.

Ejemplo resuelto 1 (la RC de onda-1, por álgebra). La RC de onda-1 escalón con voltaje inicial: $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), fuente 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. KVL en el dominio s: $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$, por lo tanto $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — exactamente la respuesta de onda-1, ahora derivada por álgebra. La verificación: $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

Ejemplo resuelto 2 (RLC sin fuente, polos coincidentes, escalado). La serie RLC de unidad 4.3 con $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, liberada con $i(0) = 1$ A, $v_{C}(0) = 0$. Malla en el dominio s (impedancias más la fuente del inductor $Li(0)$): $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$, por lo tanto $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ y los polos son $-5 \pm j8.66$ — exactamente el $\alpha = 5$, $\omega_{d} = 8.66$ el régimen temporal aritmético dio ✓. Las dos rutas son la misma física en dos notaciones; la ruta en el dominio s proporciona los exponentes sin memorizar una forma, y las fracciones parciales (como en EE02) completan la forma de onda.

Errores comunes. Omitir las fuentes de condiciones iniciales: la respuesta entonces afirma que el circuito comienza en reposo. Cancelar $s$ a ciegas (un factor de $s$ en numerador y denominador puede ocultar un impulso). Olvidar la condición del teorema del valor final (polo estrictamente en el semiplano izquierdo).

Resumen: las impedancias se convierten en $R$, $sL$, $1/sC$ más fuentes de condiciones iniciales; Métodos DC en $s$; los polos son $\alpha$ y $\omega_{d}$; verificaciones de extremo siguen siendo gratuitas.

Un módulo amplificador, una red de adaptación, un tramo de cable: cada uno es una caja con dos pares de cables, y el diseñador solo necesita lo que hace la caja en sus terminales. Un puerto doble tiene pares de terminales de entrada y salida; el mundo exterior solo ve el comportamiento del puerto. Los conjuntos de parámetros relacionan el puerto variables:

La conversión es algebraica (p. ej., a partir de parámetros z: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). Cascade connections multiply las matrices ABCD — la razón por la que las líneas de transmisión y las cadenas de filtros utilizan este conjunto.

Ejemplo resuelto 1 (la cascada en sección L, determinante verificado). La impedancia serie $Z$ tiene $ABCD = (1, Z; 0, 1)$; la admitancia derivación $Y$ tiene $(1, 0; Y, 1)$. Cascadeando primero shunt-$Y$ luego serie-$Z$: $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. Verificar con $Z = j10$, $Y = -j0.1$ (una sección L a una frecuencia): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — y el determinante $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ es igual a 1, como toda matriz ABCD de una red recíproca debe ser.

Ejemplo resuelto 2 (a parámetros z, verificado por máquina, escalado). Los mismos parámetros z de la sección L provienen de la conversión $z_{11} = A/C$, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$: $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ es el condición de reciprocidad — visible en los números, no asumida — y $z_{22} \neq z_{11}$ registra la asimetría de la sección L (shunt en el lado de entrada). Leer atrás: con puerto 2 abierto ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ — el brazo en serie no transporta corriente, por lo que la entrada solo ve el brazo en paralelo, $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

Errores comunes. Signo de $I_{2}$: ABCD usa $-I_{2}$ (corriente hacia afuera del puerto 2); los parámetros z lo usan hacia adentro del puerto — elige la convención y mantén consistencia. Multiplicar cascadas en orden incorrecto (el producto matricial no es conmutativo). Esperar $z_{12} = z_{21}$ para una red con fuentes controladas en su interior — la reciprocidad requiere linealidad sin fuentes dependientes.

Resumen: los puertos ocultan el interior; ABCD se cascada por multiplicación (redes recíprocas: $AD - BC = 1$); los parámetros z son adecuados para conexiones en serie y exponen reciprocidad como $z_{12} = z_{21}$; convierte solo mediante álgebra, verifica con un determinante.