Señales y sistemas

Este es el sexto curso de Ingeniería Eléctrica Universitaria: señales y sistemas. EE04 preguntó "¿qué hace ESTE circuito a ESTA frecuencia"; este curso plantea la pregunta fundamental: ¿qué hace un sistema ante CUALQUIER entrada — respondida a través de las tres transformadas (convolución, Fourier, z) sobre las que el resto del grado (comunicaciones, DSP, control) se construye.

• La unidad 6.1 clasifica señales y sistemas.
• La unidad 6.2 convierte la convolución en la respuesta universal en el dominio del tiempo.
• Las unidades 6.3–6.4 pasan al dominio de la frecuencia: series/transformadas de Fourier y muestreo.
• La unidad 6.5 reutiliza la maquinaria de Laplace de EE02 como función de sistema.
• Las unidades 6.6–6.7 abordan lo discreto: ecuaciones en diferencias y la transformada z.

La historia continua es un canal de audio: una señal de micrófono, un filtro, una muestreadora, un ecualizador digital. Cada transformación siguiente mueve ese canal hacia adelante, y cada respuesta se verifica como lo haría un ingeniero de señales — derivando cada par de transformaciones al menos una vez, verificando cada convolución de dos formas (gráficamente y mediante el producto de Fourier cuando esté disponible), y probando cada resultado discreto por iteración directa.

Por qué importa. "¿Es lineal? ¿Es invariante en el tiempo?" son las primeras dos preguntas de todo análisis en este curso — las respuestas deciden cuál de toda la maquinaria está permitida.

La idea, con una imagen. Una señal es una función del tiempo: tiempo continuo $x(t)$ o tiempo discreto $x[n]$. Un sistema mapea señales de entrada a señales de salida. Cuatro propiedades sostienen el curso, y cada una es un test que realizas sobre UNA entrada cuidadosamente seleccionada, no una sensación:

• Linealidad: $ax_{1} + bx_{2} \to ay_{1} + by_{2}$ — aplica la suma, verifica la suma de las salidas.
• Invarianza temporal: desplaza la entrada en $T$; la salida debe desplazarse exacto $T$ y nada más.
• Causalidad: la salida en el tiempo $t$ depende únicamente de $x$ entre $t$.
• Estabilidad BIBO BIBO: toda entrada acotada produce una salida acotada; para un sistema LTI esto se reduce a $\int |h(t)|\,dt < \infty$ — la respuesta al impulso debe ser absolutamente integrable.

La deducción. La invariancia temporal falla siempre que el reloj del sistema se escala: para $y(t) = x(2t)$, desplazar la entrada en $T$ produce $y_{shift}(t) = x(2t - T) = x(2(t - T/2))$ — la salida es la salida original del sistema retrasada solo en $T/2$. Comparar "desplazar luego sistema" ($x(t-T) \to y(t)$ en argumento $2t$, es decir, $x(2t - T)$) frente a "sistema luego desplazar" ($y(t - T) = x(2t - 2T)$) expone la discrepancia siempre que exista — esa comparación ES la prueba.

Ejemplo resuelto 1 — la trampa del escalado temporal. ¿Es $y(t) = x(2t)$ invariante en el tiempo? Con $x(t) = u(t)$: desplazar-que-luego-sistema da $x(t-1) = u(t-1) \to u(2t-1) = u(t - \tfrac{1}{2})$; sistema-que-luego-desplazar da $y(t-1) = u(2(t-1)) = u(t-1)$. Desplazamiento medio versus desplazamiento completo — variable en el tiempo ✓. Una etapa de reproducción rápida 2× en el canal de audio activo falla exactamente de esta manera.

Ejemplo resuelto 2 — estabilidad por la integral. La reverberación del canal modelo $h(t) = e^{-t}u(t)$: $\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1 < \infty$ ✓ estable. El mismo filtro con $h(t) = u(t)$ (un integrador) produce $\int_{0}^{\infty} 1\,dt = \infty$ — una entrada escalón acotada produce una rampas de salida no acotadas, por lo que el integrador es inestable BIBO independientemente de qué inocente sea Una integral, un veredicto.

Errores comunes. Probar linealidad con una sola entrada (se necesitan dos, más escalamiento). Declarar invarianza temporal desde un diagrama (ejecute la prueba de desplazamiento). Y confundir causalidad con estabilidad: $h(t) = e^{-t}u(t)$ es ambas cosas, pero $h(t) = -e^{t}u(-t)$ (anticausal, decreciente) es estable y NO causal — las dos propiedades son independientes.

Resumen. Linealidad + invarianza temporal habilitan la convolución; causalidad ordena causa y efecto; estabilidad BIBO es $\int|h| < \infty$. Cada propiedad es un experimento de una sola sonda.

Por qué importa. La convolución es LA ÚNICA fórmula que proporciona la salida de cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo para CUALQUIER entrada — sin transformadas, sin función de transferencia, solo la respuesta al impulso y una integral.

La idea, con una imagen. Para un sistema lineal e invariante en el tiempo sistema, la respuesta al impulso $h(t)$ determina todo: descomponer la entrada en impulsos escalados y retrasados; cada impulso $\delta(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau$ produce $h(t-\tau)$ escalado; superposición los integra todos:

La convolución es deslizar-multiplicar-integrar: invertir $h$, deslizarla sobre $x$, y cada valor de salida es el área de solapamiento.

La derivación. Tamizado: $x(t) = \int x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau$. La linealidad saca la integral fuera; la invariancia temporal convierte $\delta(t-\tau) \to h(t-\tau)$; el resultado es la integral de convolución — tres propiedades, una fórmula.

Ejemplo resuelto 1 — la respuesta al escalón clásica. El filtro del canal $x(t) = u(t)$ a $h(t) = e^{-t}u(t)$: para $t \ge 0$ el solapamiento es $\tau \in [0, t]$, por lo tanto

Verificar los extremos: $y(0) = 0$ ✓ (sin salida antes de que llegue la entrada); $y(\infty) = 1$ ✓ (ganancia DC 1 — y efectivamente $H(0) = 1$). En $t = 1.5$, $y = 1 - e^{-1.5} = 0.777$ — el área de solapamiento sombreada en la figura.

Ejemplo resuelto 2 — escalar al pulso. Ahora un rectángulo de 2 segundo de altura 1 (una nota sostenida) entra en el mismo filtro. Dos puntos clave mediante superposición: el escalón ON en $t=0$ más el escalón OFF en $t=2$, por lo tanto $y(t) = (1 - e^{-t})u(t) - (1 - e^{-(t-2)})u(t-2)$. En $t = 1$: $1 - e^{-1} = 0.632$. En $t = 3$: $(1 - e^{-3}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-3} = 0.318$ — la cola de liberación. Verificar el pico en $t = 2^-$: $1 - e^{-2} = 0.865$, y en $t = 2^+$ el segundo término resta exactamente su inicio, por lo que la curva es continua con una pendiente discontinua de $-1$ — la distorsión que el oído percibe como el apagado de la nota.

Errores comunes. Olvidar el volteo (la convolución NO $\int x(\tau)h(\tau)\,d\tau$). Omitir los límites cuando las señales comienzan en 0 (es la ventana de superposición, no $(-\infty,\infty)$, la que realiza la operación). Y asumir $x * h = x \cdot h$ — la multiplicación ocurre en el dominio de FRECUENCIA, nunca en el tiempo.

Resumen. $y = x * h$; voltear, deslizar, integrar; los anchos se suman ($W_{1} + W_{2}$); conmutativa; las cascadas se convolucan. Toda transformada posterior existe para evitar realizar esta integral.

Por qué importa. El ruido del canal, sus armónicos, sus bandas ecualizadoras — todos residen en frecuencia. La transformada de Fourier es el puente, y su propiedad de conversión de convolución a multiplicación es la razón por la que los filtros se diseñan allí.

La idea, con una imagen. Las señales periódicas se expanden en armónicos (series EE02); la transformada de Fourier extiende la idea a señales no periódicas:

La convolución en el tiempo se convierte en multiplicación en frecuencia: $Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)$ — la propiedad a la que converge toda la materia sobre.

La derivación. Para un pulso rectangular de amplitud $A$ y anchura $\tau$ centrado en 0:

la función sinc. En $\omega = 0$ la transformada es igual al ÁREA $A\tau$ (y $\mathrm{sinc}(0) = 1$ lo devuelve ✓); el primer nulo se sitúa en $\omega\tau/2 = \pi$, es decir, $f = 1/\tau$ — el compromiso entre tiempo y ancho de banda .

Ejemplo resuelto 1 — el presupuesto de pulsos del canal. Un clic de 1 ms ($A = 1$, $\tau = 10^{-3}$ s): $X(f) = 10^{-3}\,\mathrm{sinc}(f \cdot 10^{-3})$, primer nulo en $f = 1$ kHz. Un clic diez veces más corto (0.1 ms) desplaza el nulo a 10 kHz — cuanto más breve es el evento, más ancho es el espectro, lo cual es por qué un clic irrita todas las bandas del ecualizador a la vez. Verifique el área: el valor en $f = 0$ es $A\tau$ − $10^{-3}$ para el clic de 1 ms y $10^{-4}$ para el 0.1 ms ✓; el clic más corto introduce menos energía en cada banda pero la distribuye sobre diez veces más bandas.

Ejemplo resuelto 2 — ascender al precio del filtro ideal. El canal desea un paso bajo de pared de ladrillo: ganancia 1 hasta 4 kHz, 0 por encima. Su respuesta impulsiva es la transformada inversa del rectángulo de paso: $h(t) = \frac{\sin(\omega_{c}t)}{\pi t}$ con $f_{c} = 4$ kHz — un sinc en TIEMPO, extendiéndose infinitamente en ambas direcciones, por lo que el filtro ideal es no causal. Se truncó a $|t| \le 5$ ms (una ventana de 10 ms) y la ganancia de la banda de paso presenta ondulaciones (efecto Gibbs), con ondulaciones separadas aproximadamente $1/(10\ \text{ms}) = 100$ Hz, y el borde no puede ser más nítido que esa misma frecuencia de 100 Hz. El compromiso es inequívoco: la pendiente en frecuencia se paga con longitud en el dominio temporal, la misma ley de la otra perspectiva.

Errores comunes. Evaluar $\mathrm{sinc}$ en $\omega$ en lugar de $\omega\tau/2$ (dimensionless argument, always). Forgetting the $1/2\pi$ en la inversa. Y leer $|X(\omega)|$ como "la señal" — la transformada está completa solo con su fase.

Resumen. Pares de transformación por integral; pulso ↔ sinc con nulo en $1/\tau$; convolución ↔ multiplicación. Pendiente en un dominio es longitud en el otro.

Por qué importa. El canal se vuelve digital en un punto: el muestreador. Todo lo que viene después — el ecualizador, el almacenamiento, la reconstrucción — hereda lo que hizo el paso de muestreo, y nunca podrá deshacerse después.

La idea, con una imagen. El muestreo multiplica la señal por un tren de impulsos; en frecuencia, el espectro se replica en múltiplos de impulsos; en el dominio de la frecuencia, el espectro se replica en múltiplos de $f_{s}$. El criterio de Nyquist: una señal con ancho de banda limitado a $f_{max}$ se recupera perfectamente si $f_{s} > 2f_{max}$. Por debajo de ese valor, las réplicas se superponen y el aliasing pliega las altas frecuencias en la banda como falsos bajos.

La derivación. La salida de un muestreador $x_{s}(t) = x(t)\sum_{n}\delta(t - nT)$ tiene, por la dualidad de convolución-multiplicación (multiplicación en el tiempo = convolución en la la dualidad de multiplicación (multiplicación en tiempo = convolución en frecuencia) hace que el espectro $(1/T)\sum_{k} X(\omega - k\omega_{s})$ — se replique en cada múltiplo de la frecuencia de muestreo. Si $X$ ocupa $|\omega| < \omega_{s}/2$, las réplicas nunca se tocan; por lo tanto una baja frecuencia real de una alta plegada. no hay confusión entre una baja frecuencia real y una alta plegada.

Ejemplo resuelto 1 — el alias de 4 kHz. Un coseno de 4 kHz muestreado a 6 kHz: $4 > 6/2 = 3$ kHz. Verifique muestra por muestra: $|f - f_{s}| = 2$ kHz. Verificar muestra por muestra: $\cos(2\pi \cdot \tfrac{4}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n)$. Verifica qué modo tiene tu calculadora antes de cada pregunta. $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{6} n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$; ambas secuencias coinciden porque $\cos(2\pi \cdot \tfrac{2}{3} n) = \cos(2\pi(\tfrac{2}{3} - 1)n) = \cos(2\pi \cdot (-\tfrac{1}{3})n) = \cos(2\pi \cdot \tfrac{1}{3} n)$ ✓ (el coseno es par). Una tonalidad de 4 kHz muestreada a 6 kHz ES una secuencia de 2 kHz.

Ejemplo resuelto 2 — escalar al presupuesto de anti-aliasing. El canal (20 kHz). Una señal interferente de 44.1 kHz se aliase a ($f_{s}/2 = 22.05$ kHz). Una tonalidad de interferencia de 25 kHz se plegaría a $44.1 - 25 = 19.1$ kHz — dentro de la banda declarada de 20 kHz. El filtro anti-alias debe atenuarlo antes del muestreador: en el muestreo CD de 44.1 kHz, la banda de guarda es solo 22.05 − 20 = 2.05 kHz de ancho, por lo que la captura profesional sobremuestra a 96 o 192 kHz (bandas de guarda de 28 y 76 kHz) y aplica filtros suaves. La corrección siempre debe realizarse antes del muestreador, nunca después; una frecuencia plegada no lleva ninguna marca que indique su origen. frecuencia no tiene ninguna marca que indique su origen.

Resumen. El muestreo replica el espectro en múltiplos de $f_{s} = 2f_{max}$; es estricto; en la igualdad, una senoide en $f_{max}$ puede muestrearse en sus cruces por cero (y desaparecer). Filtrado después del muestreo (el plegado ya está dentro de la banda). Y asumiendo upsample digital recupera lo que un bajo filtro $f_{s}$ omitió — la información nunca fue registrada.

Resumen. El muestreo replica el espectro en múltiplos de $f_{s}$; $f_{s} > 2f_{max}$ o los aliases se pliegan; el filtro anti-aliasing va antes del muestreador; la banda de guarda entre $f_{max}$ y $f_{s}/2$ es el presupuesto de diseño. presupuesto.

Por qué importa. La etapa analógica del canal — condensadores de acoplamiento, controles de tono — es un sistema racional, y los polos de su función de sistema predicen oscilaciones, velocidad y estabilidad a simple vista.

La idea, con una imagen. La transformada de Laplace de EE02 se convierte en la función del sistema $H(s) = Y(s)/X(s)$; para un sistema LTI, $h(t) \leftrightarrow H(s)$ como par de transformación. Factores racionales de $H(s)$ en polos y ceros: cada polo contribuye con un modo natural $e^{pt}$; la región de convergencia (ROC) decide cuál; causal la estabilidad requiere que todos los polos estén en el semiplano izquierdo abierto.

La derivación. $\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = 1/(s+a)$ para $\mathrm{Re}(s) > -a$ (una integración por partes). El escalón unitario $1/s$. Por lo tanto, para $H(s) = 1/(s+1)$ impulsado por un escalón:

partial fractions doing the convolution of Unit 6.2 with three lines of álgebra — y ambas rutas conducen a la misma curva ✓.

Ejemplo resuelto 1 — lea el polo de tres formas. $H(s) = 1/(s+1)$: el polo en $s = -1$ ES el $e^{-t}$ en la respuesta al impulso (constante de tiempo 1 s); la respuesta al escalón se estabiliza en $1 - e^{-t}$ alcanzando 95% en $t = 3$ s; la respuesta en frecuencia $H(j\omega)$ tiene $|H(j \cdot 1)| = 1/\sqrt{2} = 0.707$ — el punto a −3 dB se encuentra exactamente en la distancia del polo al origen, y la fase allí es $-45°$.

Ejemplo resuelto 2 — escalar al control de tono de dos polos. Un aumento de graves refuerzo con un notch, $H(s) = \dfrac{s^{2} + 2s + 100}{(s+1)(s+10)}$: ceros en $-1 \pm j9.95$ (cerca del eje imaginario cerca de $\pm 10$ rad/s, por lo que haga una muesca allí: $|H(j10)| = 20/(10.05 \times 14.14) = 0.14$, aproximadamente −17 dB), polos en $-1$ y $-10$ (ambos a la izquierda — estable ✓). Ganancia DC $100/10 = 10$ (elevación de grave de 20 dB ✓); ganancia de alta frecuencia $1$ (el numerador coincide con el denominador en $s^{2}$). Verifique la caída intermedia: en $\omega = 0$, 20 dB; en $\omega \to \infty$, 0 dB; la transición ocurre entre las frecuencias de los polos — toda la curva del ecualizador es legible desde cinco puntos marcados en el plano s.

Errores comunes. Leer la estabilidad solo a partir de los polos sin considerar la ROC (un polo en $-1$ con una ROC que se extiende hacia la izquierda es antical causal e inestable). Olvidar $H(s)$ solo existe con su ROC. Y confiar en un polo-cero escala incorrectamente: el punto de −3 dB representa la DISTANCIA del polo al origen únicamente para un factor de primer orden sin ceros cercanos.

Resumen. $H(s) = Y/X$; las fracciones parciales convierten transformadas nuevamente en exponenciales; los polos establecen los modos, la ROC determina la causalidad, el semiplano izquierdo garantiza la estabilidad, y $s = j\omega$ define la respuesta en frecuencia.

Por qué importa. Una vez muestreado, el ecualizador del canal se convierte en una ecuación en diferencias ejecutada en un procesador — iterarla manualmente es cómo se comprende realmente su comportamiento.

La idea, con una ilustración. El equivalente discreto de la convolución: $y[n] = \sum_{k} x[k]\,h[n-k]$. Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias** como $y[n] = 0.5\,y[n-1] + x[n]$ — un acumulador con decaimiento. El modo homogéneo es $a^{n}$ donde $a$ es la raíz de la ecuación característica; iterar un paso a la vez es el método directo de solución.

La derivación. Para $y[n] = a\,y[n-1] + x[n]$ con entrada escalón y condición inicial nula, las primeras muestras son $1,\ 1+a,\ 1+a+a^{2},\ \ldots$ — sumas parciales de una serie geométrica, por lo tanto

y el límite $1/(1-a)$ es la ganancia en continua (DC): el eco discreto del estado continuo $\int h < \infty$.

Ejemplo resuelto 1 — iterar y converger. $y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]$, $y[-1] = 0$, escalón unitario: $y[0] = 1$, $y[1] = 1.5$, $y[2] = 1.75$, $y[3] = 1.875$ — acercándose a la ganancia en DC $1/(1-0.5) = 2$ ✓. La brecha hacia el límite se reduce a la mitad en cada paso (el residuo es $0.5^{n+1}$), por lo que después de 10 pasos la brecha es $0.5^{11} \approx 0.05\%$ — una línea de aritmética que predice toda la tabla.

Ejemplo resuelto 2 — escalar a una raíz oscilatoria. Establecer $a = -0.8$: $y[n] = -0.8\,y[n-1] + x[n]$ en un escalón produce $y[n] = \tfrac{1}{1.8}(1 - (-0.8)^{n+1})$ — el acercamiento a $0.556$ oscila: $y[0] = 1$, $y[1] = 0.2$, $y[2] = 0.84$, $y[3] = 0.328$. Verificar $|a| = 0.8 < 1$ — aún estable (la oscilación decays), y el signo cambia en cada muestra es la huella digital de una raíz negativa, el análogo discreto de un par de polos complejos resonando a la mitad de la frecuencia de muestreo ($z = -0.8$ mapea a $s = (\ln 0.8 \pm j\pi)/T$).

Errores comunes. Iterar con un $y[-1]$ incorrecto (especificar la condición inicial antes de la primera línea). Declarar estabilidad basándose en los primeros pocos muestras (solo el $|a| < 1$ decide). Y leer la ganancia en DC desde $n = 0$ solamente — es el $1/(1-a)$, el LÍMITE, visible solo cuando las muestras se estabilizan.

Resumen. Ecuación en diferencias → iterar; sumas parciales geométricas; ganancia en DC $1/(1-a)$; raíz dentro del círculo unitario = estabilidad; raíces negativas o complejas = oscilación.

Por qué es importante. El ecualizador se entrega como coeficientes $a_{k}, b_{k}$ de una ecuación en diferencias; la transformada z es cómo se seleccionan esos números, y el círculo unitario es donde se lee su respuesta en frecuencia. La idea, con una imagen. La transformada z z

La idea, con una imagen. La transformada z z par fundamental: $X(z) = \sum_{n} x[n]z^{-n}$ con ROC par fundamental: $a^{n}u[n] \leftrightarrow 1/(1 - az^{-1})$ con ROC $|z| > |a|$. Para un sistema causal, los polos DENTRO del círculo unitario implican estabilidad. La transformada inversa es división larga o fracciones parciales.

La derivación. $\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}z^{-n}$ es geométricamente la razón $az^{-1}$; converge a $1/(1 - az^{-1})$ exactamente cuando $|az^{-1}| < 1$, es decir, $|z| > |a|$ — la ROC es el exterior de un círculo que pasa por el polo. La estabilidad requiere que la ROC incluya el círculo unitario (el eje de frecuencia $z = e^{j\omega}$), lo cual obliga a $|a| < 1$ — el condición del círculo unitario en una sola línea.

Ejemplo resuelto 1 — el acumulador nuevamente, mediante transformada. $H(z) = 1/(1 - 0.5z^{-1})$, polo en $z = 0.5$ — dentro del círculo unitario, estable ✓. Respuesta al escalón: $Y(z) = H(z)\,\dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^{2}}{(z-0.5)(z-1)}$; fracciones parciales dan $y[n] = 2(1 - 0.5^{n+1})$. Verifique $n = 0$: $2(1 - 0.5) = 1$ ✓ coincide con la iteración de Unidad 6.6, y $n \to \infty$ da Ejemplo resuelto $2$ — el diccionario de transformación de plano a plano. El mapeo

Ejemplo resuelto 2 — el diccionario plano a plano. El mapeo $s \to z = e^{sT}$ envía $s = j\omega$ al círculo unitario $e^{j\omega T}$ (frecuencia = ángulo), y una tasa de decaimiento continua $\sigma$ con $e^{\sigma T}$ ms corresponde a $z = 0.5$ con $T = 1$ ms corresponde a $\sigma = \ln(0.5)/0.001 = -693\ \text{s}^{-1}$ — una constante de tiempo de $1/693 = 1.44$ ms. Verifique contra la iteración de Unidad 6.6: la brecha se reduce a la mitad por MUESTRA ($0.5 = e^{-0.693}$), y $0.693/T$ por segundo es lo mismo $-693\ \text{s}^{-1}$ ✓. Las dos transformaciones son un mismo tema visto desde dos orillas del mismo río.

Errores comunes. Citar $H(z)$ sin su ROC (la misma función racional función puede describir sistemas diferentes cuando cambia la RRC). Lectura de respuesta en frecuencia en el eje real (vive en $|z| = 1$). Y confundir las convenciones de $z$ y $z^{-1}$ convenciones — para la secuencia causal $a^{n}u[n]$, la ROC es $|z| > |a|$; una secuencia lateral izquierda tiene una RRC diferente.

Resumen. $a^{n} \leftrightarrow 1/(1-az^{-1})$, ROC exterior; para un sistema causal, los polos dentro del círculo unitario = estabilidad; $z = e^{sT}$ mapea decaimiento a radio y la frecuencia al ángulo — y la ganancia DC $1/(1-a)$ cierra el bucle con la iteración de hace dos unidades.