3.3 · Geometry and measures

Unidad OxfordAQA 9260 unidad 3.3 (especificación Versión 5.1) — en el 31.5% de las marcas combinadas del ejemplar. Las filas centrales G1–G26 cubren propiedades angulares mediante construcciones, mensuración, semejanza, trigonometría, transformaciones, vectores y matrices; los Adiciones Extensión añaden el programa completo de teoremas circulares con prueba, congruencia condiciones, rumbos, fórmulas de esfera/pirámide/cono/cilindro truncado, semejanza k-k²-k³, sectores, 3D Pitágoras y trigonometría, reglas del seno/coseno con ½ab sinC, transformaciones combinadas con factores de escala fraccionarios/negativos, geometría vectorial, y el programa matricial 2×2 (identidad, transformaciones de cuadrado unitario, combinaciones). El 1E es el papel de geometría; las líneas no muestreadas se etiquetan como especificación originales.

Conocimiento esencial para la unidad 3.3 (sin hoja de fórmulas):

Términos convencionales: puntos, rectas, vértices, aristas, planos; paralelos, perpendiculares; polígonos y polígonos regulares; la etiquetatura estándar del triángulo. Hechos angulares: en un punto (360°), sobre una línea (180°), opuestos por el vértice; líneas paralelas dan alternos, correspondientes y conjugados internos ángulos (usa estos nombres en razones, nunca "ángulos Z"); suma del triángulo 180° con los isósceles, equiláteros y escalenos familias. Sumas poligonales: interior $(n-2) \times 180°$, exterior $360°$; for regular polygons also the angle at the centre $= \tfrac{360°} {n}$. Los cuadriláteros especiales (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, trapecio, cometa, rombo) portan sus propiedades de lado/ángulo/diagonal, y 2 formas D tienen reflexión y rotación simetría conteos (un hexágono regular: 6 líneas, orden 6).

Congruencia con las condiciones de extensión para triángulos — LLL, LAL, ALA, LAL — cada uno justificado por qué tres mediciones independientes determinan un triángulo. Semejanza escala longitudes por $k$: (Extensión) áreas por $k^2$, volúmenes por $k^3$, en todas las direcciones.

El programa de extensión sobre círculos: el ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia; el ángulo del semicírculo es 90°; ángulos en el mismo segmento son iguales; ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°; tangente $\perp$ radio; tangentes desde un punto exterior son iguales; la perpendicular desde el centro bisecta una cuerda; el teorema del segmento alterno. La cadena verificada: un ángulo en la circunferencia de 35° subtiende el mismo arco que un ángulo central de 70°, y el ángulo del arco OPUESTO es $\tfrac12(360° - 70°) = 145°$ — los dos ángulos en la circunferencia son ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico ($35° + 145° = 180°$) — cada paso nombra su teorema (la pregunta de círculo del espécimen G1E lleva respuestas de esta familia; demanda de demostración geométrica G9').

Caras, superficies, aristas y vértices de cubos, prismas rectangulares, prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas; planos y elevaciones (vistas frontal, lateral y superior — una línea del plan no muestreada por los especímenes). Medir segmentos de línea y ángulos; dibujos a escala con factores de escala; rumbo: tres cifras, en sentido horario desde dibujos a escala con factores de escala; rumbo: tres cifras, en sentido horario desde el norte (la ampliación incluye los ocho puntos cardinales) — el 2E del ejemplar tiene un 252° que Construcciones con regla y compás: mediatriz de un segmento,

Ejemplo resuelto: un ángulo a partir de dos rumbos. $B$ está en rumbo de 070° desde $A$, y $C$ está en rumbo de 160° desde $B$. Encuentra el ángulo $ABC$. El rumbo de $A$ DESDE $B$ es el rumbo de retorno $070° + 180° = 250°$. En $B$, la dirección hacia $A$ es 250° y la dirección hacia $C$ es 160°, entonces ángulo $ABC = 250° - 160° = 90°$. Dibuja una línea norte en CADA punto desde el cual trabajes; los rumbos se miden en el punto nombrado después de "desde".

Construcciones con regla y compás: mediatriz de un segmento, perpendicular a una recta desde/sobre un punto, bisectriz de ángulo, ángulo 60° — usado para construir fórmulas de superficie y volumen de esfera/pirámide/cono y sólidos compuestos hasta una recta es la más corta. Dejar todos los arcos visibles: los arcos son el proceso de trabajo.

Unidades estándar con conversiones (tiempo 12/24-hora; longitud, área, volumen/capacidad, masa; unidades compuestas: velocidad y densidad). Áreas: triángulo $\tfrac12 bh$, paralelogramo $bh$, trapecio $\tfrac12(a+b)h$; volumen por $V = Ah$ (sección transversal sección transversal). El círculo: $2\pi r$, $\pi r^2$; (Extensión) sectores: arco $\tfrac\theta{360} \times 2\pi r$ y área $\tfrac\theta{360} \times \pi r^2$, más fórmulas de superficie y volumen de esfera/pirámide/cono y sólidos compuestos incluyendo frustas (líneas de especificación, varias no muestreadas) — un cono de $r = 5$, $h = 12$ tiene generatriz 13, $V = 100\pi$ y superficie curva $65\pi$; las 1E el problema del cono del espécimen encuentra una proporción $p = 15$.

Ejemplo resuelto: un sector. Un sector tiene radio 6 cm y ángulo 150°. El arco mide $\tfrac{150}{360} \times 2\pi \times 6 = 5\pi = 15.7$ cm, por lo tanto el perímetro es $5\pi + 6 + 6 = 27.7$ cm (ambos radios se cuentan). El área es $\tfrac{150}{360} \times \pi \times 6^2 = 15\pi = 47.1\ \text{cm}^2$. Figuras semejantes (Extensión): longitudes $k$ : áreas $k^2$ : volúmenes $k^3$ — los sólidos similares del espécimen 2E proporcionan 864 cm³ a partir de una razón de volúmenes.

$a^2 + b^2 = c^2$ con SOH CAH TOA en triángulos rectángulos — siempre 2D, 3D figuras en Extensión: extraer primero el triángulo rectángulo (la trigonometría 3D del espécimen 1E da como resultado 62.7°). La ley de los senos $\dfrac a{\sin A} = \dfrac b{\sin B}$ y la ley de los cosenos $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ cubren cualquier triángulo (Extensión), con Área $= \tfrac12 ab\sin C$ reversible — la ley de cosenos del espécimen 2E da 102.6°, y $\cos x = \tfrac8{11}$ produce $x = 43.3°$.

Ejemplo resuelto: familia de ley de cosenos 2E, adaptada. Un triángulo tiene $a = 9$, $b = 11$ and angle $C = 72°$. $c^2 = 81 + 121 - 2(9)(11)\cos 72° = 202 - 198 \times 0.309 = 202 - 61.2 = 140.8$, so $c = 11.9$ (3 cifras significativas). Luego, el ángulo más pequeño se sitúa opuesto al lado más corto: $\cos A = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \tfrac{121 + 140.8 - 81}{2 \times 11 \times 11.87} = \tfrac{180.8}{261.1} = 0.693$, por lo tanto $A = 46.2°$ (manteniendo $c$ sin redondear) — verificar $A + B + C = 180°$ con $B = 61.8°$. ✓

Rotaciones únicas, reflexiones, traslaciones (por un vector) y ampliaciones (factor positivo) — con las propiedades preservadas nombradas; las adiciones de Extensión cubren transformaciones combinadas y ampliaciones por factores fraccionarios y negativos factores de escala** (una imagen invertida y reducida en el lado opuesto del centro). Vectores: notación, suma, diferencia y múltiplos escalares (gráficamente y por componentes), las leyes conmutativa y asociativa, y simple geometría 2D — la muestra 2E demuestra $CB \parallel MN$ mediante una razón $\tfrac12$ usando vectores.

El programa de matrices 2×2 Extensión: multiplicación (matrices 2×2 por escalares, matrices 2×2 por matrices 2×1, la matriz identidad $I$; transformaciones del CUADRADO UNITARIO — rotaciones de 90°/180°/270° alrededor del origen, reflexiones respecto a $x = 0$, $y = 0$, ejes $y = x$, $y = -x$, ampliaciones centradas en el origen — representadas por matrices como $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ (reflexión respecto al eje $y = -x$, la matriz de la muestra 1E); transformaciones combinadas por multiplicación de matrices, en el orden en que se aplican las transformaciones.

Ejemplo resuelto: transformación combinada. Reflejar en $y = x$, matriz $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, luego rotar 90° antihorario respecto al origen, matriz $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. La PRIMERA transformación está a la DERECHA:

que es una reflexión en el eje $y$ ($x = 0$). Verificar con un punto: $(2, 1)$ se refleja en $(1, 2)$, que rota a $(-2, 1)$, y la reflexión en el eje $y$ también envía $(2, 1)$ a $(-2, 1)$. ✓ Multiplicar en el orden opuesto da $\mathbf{M}\mathbf{R}$, una reflexión en el eje $x$: el orden importa.

Ejemplo resuelto: familia de resolución matricial 1E, adaptada. Resolver $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$: las ecuaciones son $3x + y = 10$ y $x + 2y = 5$. De la primera, $y = 10 - 3x$; sustituyendo: $x + 2(10 - 3x) = 5$, por lo tanto $-5x = -15$, obteniendo $x = 3$ y $y = 1$. Comprobación: $3(3) + 1 = 10$. ✓ The 1E specimen's own pairs $(6, -\tfrac12)$ and $(-2, -\tfrac52)$ provienen del mismo método aplicado a un segundo sistema vinculado.

• Términos convencionales y notación de triángulos; propiedades angulares; ángulos en paralelas; sumas interior/exterior/central de polígonos; propiedades de cuadriláteros; conteo de simetrías (G1–G6).
• Congruencia con LLL/LAL/AAL/LRL; semejanza con proporciones k, k², k³ (G7, G17, Ampliación).
• Terminología circular y banco completo de teoremas con justificaciones estilo demostración (G8–G9, Ampliación; cadena verificada 35° → 70° → 145°).
• propiedades de la forma 3D; planos y elevaciones (no muestreados); medición, factores de escala, rumbos (G10–G12).
• Construcciones (cuatro tipos de regla y compás) con lugares geométricos; propiedad de distancia mínima (G13).
• Unidades y medidas compuestas; fórmulas de área y V = Ah; fórmulas circulares; sectores; superficie y volumen de esfera/pirámide/cono/cilindro truncado; figuras compuestas (G14–G16, Ampliación).
• Pitágoras y trigonometría en 2D y 3D; ley del seno/coseno y ½ab sinC (G19–G20, Extensión; 1E 62.7°, 2E 102.6° y cos x = 8/11).
• Transformaciones incluyendo ampliaciones combinadas, fraccionarias y negativas (G21, Ampliación).
• Notación vectorial y geometría (G22; demostración de 2E CB ∥ MN).
• Multiplicación de matrices, identidad, transformaciones de cuadrado unitario y combinaciones (G23–G26, Ampliación; matrices de 1E).

Notas de la evaluación: NO hoja de fórmulas en 9260. Líneas marcadas "no muestreadas" (planos y alzados, partes del programa de sólidos) son originales de la especificación; los ejemplares son solo de nivel ampliación. Los ejemplos resueltos están adaptados del 2016 par de ejemplares o original.