3.2 · Algebra

ejemplares OxfordAQA 9260 unidad 3.2 (programa para primera evaluación 2018) — la unidad más grande en el 35% de cada papel de Extensión. Las filas Core A1–A26 cubren notación hasta gráficos, ecuaciones, desigualdades y secuencias; las adiciones de Extensión incluyen reordenamiento dos veces sujeto, triple expansión, toda factorización cuadrática, potencias fraccionarias, fracciones algebraicas cuadráticas, demostración formal, todo el kit de funciones (dominio, rango, inversa, compuesta), ecuaciones de rectas, gráficas exponenciales y trigonométricas, diferenciación con tangentes y puntos estacionarios, completar el cuadrado perfecto, gráficos, derivadas con tangentes y puntos estacionarios, completar el cuadrado, gradientes y áreas bajo gráficas, variación, cada par simultáneo, cuadrática desigualdades y secuencias cuadráticas. La muestra 2E de este tema se centra fuertemente en esta unidad (el álgebra es su estructura); las líneas no muestreadas están etiquetadas como originales del plan de estudios.

Conocimiento esencial para la unidad 3.2 (SIN hoja de fórmulas):

Las letras expresan números generalizados; sustituye números en fórmulas y expresiones (positivo, negativo, fraccionario). La adición de Extensión reordena fórmulas complejas incluyendo cuando el sujeto aparece dos veces: desde $ax + 3 = 5(xt) - 2a$, recoge primero los términos del sujeto — $ax + 2a = 5xt - 3$, por lo que $a(x + 2) = 5xt - 3$ y $a = \dfrac{5xt - 3}{x + 2}$. Verifica cada reordenamiento numéricamente.

Recoge términos semejantes; expande corchetes simples y (Extensión) productos de dos o tres binomios: $(x + 2)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 - 7x - 6$. Factorizar por factores comunes y (Extensión) toda cuadrática $ax^2 + bx + c$, incluyendo la diferencia de dos cuadrados: $2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5)$ y $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$. Index laws run to fractional powers: $4c^5 \div 3d^3$ permanece como $\tfrac{4c^5}{3d^3}$ en respuestas en forma de índice (la forma de respuesta de la muestra 1E).

Ejemplo resuelto: simplifica, luego resta. (a) Simplifica fracciones algebraicas cuadráticas: factorizar primero, simplificar factores enteros, denominadores comunes. Las respuestas 2E del ejemplo muestra de $\dfrac{11m - 14}{m^2 - 3m - 4}$ y las respuestas $\dfrac{2x + 3}{x + 4}$ provienen de este procedimiento.

Ejemplo resuelto: simplificar, luego restar. (a) Simplificar $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$. (b) Escribir $\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{1}{x - 1}$ como un fracción simple.

(a) Factorice el numerador y el denominador, luego simplifique el factor común completo $(x + 3)$:

(b) El denominador común es $(x + 2)(x - 1)$. Coloque el segundo numerador entre paréntesis para que el signo menos afecte a ambos términos:

Simplificar términos individuales (como el $x^2$ en la parte (a)) nunca está permitido: solo los factores completos se simplifican. factores se simplifican.

Argumente matemáticamente que las identidades son válidas para cada valor — con la ampliación de demostraciones formales. Estructura: enunciar la expresión algebraica, simplificar, comparar con la afirmación. Clásico (fam. ejemplar 2E): demostrar que $n^2 + n + 9$ es impar para cada entero $n$. Escriba $n^2 + n = n(n + 1)$ como un producto de dos números enteros consecutivos, uno de los cuales es par, por lo tanto $n(n + 1)$ es par, y par + $+ 9$ es impar. Otro demostración por paridad: $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$ — un múltiplo de 8 para cada entero $n$. Los ejemplos numéricos nunca constituyen una demostración.

Una función asigna a cada entrada exactamente una salida (Básico: entrada-salida simple, Extensión: la definición formal, notación $\mathrm{f}(x) = \ldots$, dominio y rango). Compuesta: $\mathrm{fg}(x) = \mathrm{f}(g(x))$, aplicar $g$ primero — el espécimen 2E construye $\mathrm{fg}(x) = (x - 5)^2 + 1$ y resuelve $\mathrm{fg}(x) = 5$: $(x - 5)^2 = 4$ da $x = 3$ (o $x = 7$; verificar: $(3 - 5)^2 + 1 = 5$). Inversa: intercambiar y reordenar — el espécimen 1E $\mathrm{f}^{-1}(x) = \tfrac x3$ proviene de $\mathrm{f}(x) = 3x$.

Coordenadas en los cuatro cuadrantes; grafique $y = mx + c$; las adiciones de la ampliación encuentran la ecuación de una recta que pasa por dos puntos o por un punto con una pendiente dada, y utilice $y - y_1 = m(x - x_1)$: a través de $(1, 7)$ y $(2, 9)$, $m = 2$ y $y = 2x + 5$. Rectas paralelas comparten $m$; las pendientes perpendiculares multiplicadas dan $-1$ (especificación línea, no muestreada).

Bocete e interprete gráficas lineales, cuadráticas, cúbicas y recíprocas; los especímenes de la ampliación incluyen funciones exponenciales $y = k^x$ para valores positivos de $k$ y las gráficas trigonométricas (en grados) — ambas son líneas de especificación no muestreadas en los Identifique raíces, intersecciones y puntos de giro; la adición de la ampliación DEDUCES turning points by completing the square: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$ (specification line, not sampled). Las pendientes y las áreas bajo las gráficas (incluyendo cuadráticas y no lineales) se estimada mediante tangentes y trapecios, y — en la ampliación — calculada exactamente por diferenciación (sección siguiente).

El bloque de cálculo de la Extensión: comprenda y utilice la función de pendiente $\dfrac{dy}{dx}$, derivar $kx^n$ para entero positivo $n$ (y sumas), y conocer que la pendiente de una función en un punto ES la pendiente de la tangente allí — luego determine la ecuación de la tangente.

Los valores del ejemplo 2E (citación familiar): una curva con $\dfrac{dy}{dx} = 15$ en el punto lleva una tangente $y = 15x - 36$. Los puntos estacionarios resuelven $\dfrac{dy}{dx} = 0$, clasificados como máximos, mínimos o puntos de inflexión, con curvas graficadas a partir de las derivadas:

Ejemplo resuelto: puntos estacionarios y una tangente. $y = x^3 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12 = 0$ da $x = \pm 2$. En $x = -2$, $y = 21$ (la pendiente cambia de $+$ a $-$: máximo); en $x = 2$, $y = -11$ (cambia de $-$ a $+$: mínimo). En $x = 3$ la pendiente es $3(9) - 12 = 15$ y la tangente es $y + 4 = 15(x - 3)$, es decir, $y = 15x - 49$.

Resolver ecuaciones lineales (incógnita en ambos lados), cuadráticas por factorización y (Extensión) completando el cuadrado y la fórmula cuadrática — el espécimen 1E del $x = -3 \pm \sqrt7$ proviene de $x^2 + 6x + 2 = 0$: $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2}$. Pares simultáneos: dos ecuaciones lineales, y (Extensión) una lineal con una cuadrática. Variación (Extensión): directa $y = kx^n$ y inversa $y = \tfrac{k}{x^n}$ en términos algebraicos (línea de especificación, no muestreada). Ejemplo resuelto: una recta y una parábola. Resuelva $y = x + 1$ y $x^2 + y^2 = 13$ conjuntamente. Sustituya la ecuación lineal en la cuadrática:

Entonces $x = 2$, $y = 3$ o $x = -3$, $y = -2$. Da las respuestas en PARES y encuentra cada uno $y$ de la ecuación lineal: elevar al cuadrado $y^2 = 9$ permitiría incorrectamente $y = -3$ con $x = 2$.

Inecuaciones: lineales en una variable, y (Extensión) en una o dos variables más inecuaciones cuadráticas — resolver $x^2 - x - 6 > 0$ mediante valores críticos $x = -2, 3$: cuadrática positiva, por lo tanto $x < -2$ o $x > 3$ (línea del programa, no muestreado).

Generar términos a partir de reglas término-a-término y posición-a-término; usar triangular, cuadrado y secuencias de números cúbicos (Núcleo) con las adiciones de la Ampliación que cubren cuadráticas secuencias: segundas diferencias son constantes, y el término n-ésimon es $an^2 + bn + c$ with $a = \tfrac12(\text{second difference})$. For $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$: first differences $4, 8, 12, 16$, second difference $4$, so $a = 2$. Tome $2n^2$ (lo que da $2, 8, 18, 32, 50$) y restar: los residuos $3, 1, -1, -3, -5$ are linear, $-2n + 5$. So the nth term is $2n^2 - 2n + 5$ — check $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$. ✓

• Notación generalizada; sustitución; reordenamiento con el sujeto dos veces (A1–A3, Ampliación).
• Expandir dos o tres binomios; factorizar todas las cuadráticas y la diferencia de dos cuadrados; respuestas con exponente fraccionario; fracciones algebraicas cuadráticas (A4–A7, Ampliación; ejemplares 1E/2E).
• Prueba algebraica formal (A8, Extensión; 2E familia n² + n + 9).
• Funciones: definición, dominio, rango, compuesta fg, inversa (A9, Ampliación; 2E fg(x) = (x−5)² + 1, 1E f⁻¹(x) = x/3).
• Coordenadas; ecuaciones de rectas por dos puntos o punto + pendiente; pendientes perpendiculares (A10–A11; esta última no se evalúa).
• Gráficos lineales, cuadráticos, cúbicos, recíprocos, exponenciales y trigonométricos; puntos de giro completando el cuadrado; estimados de pendiente/área (A12, A16–A17; varias líneas no se evalúan).
• Derivación de kxⁿ; pendiente = pendiente de la tangente; ecuaciones de tangentes; puntos estacionarios clasificados con bosquejos (A13–A15, Ampliación; familia de tangentes 2E).
• Ecuaciones lineales; cuadráticas por los tres métodos; simultaneidad lineal-lineal y lineal-cuadrática (A19–A21, Ampliación).
• Contexto en álgebra (A22, Ampliación); desigualdades lineales (una/dos variables) y cuadráticas con conjuntos solución (A23, Ampliación; no se evalúan).
• Tipos de secuencias; términos n-ésimos lineales y cuadráticos (A24–A26, Ampliación).

Notas de límite: SIN hoja de fórmulas en 9260. Líneas marcadas como "no evaluadas" (pendientes perpendiculares, bosquejos exponenciales/trigonométricos, puntos de giro completando el cuadrado, variación, desigualdades cuadráticas y de dos variables) son originales del programa; los ejemplares son solo de nivel Ampliación, por lo que la demanda del Nivel Núcleo no tiene evidencia local. Los ejemplos resueltos están adaptados del par de ejemplares de 2016 o son originales.