3.1 · Number

Matemáticas OxfordAQA International GCSE (9260) unidad 3.1 (especificación para primera evaluación 2018). Las filas fundamentales N1–N20 abarcan desde el ordenamiento y las cuatro operaciones hasta factores e índices, notación científica, conjuntos, redondeo, operadores de fracciones decimales y porcentuales, cambio porcentual y proporción; las ampliaciones añaden factorización en forma de índice, fraccionaria potencias, radicales exactos, cálculos de límites, decimales periódicos, porcentajes inversos, la fórmula de interés compuesto y crecimiento y decaimiento exponencial. La muestra 2016 pareja (1E/2E, Nivel Ampliado) muestra esta unidad en MCD, radicales, cadenas de fracciones, originales de la especificación y están etiquetados así. especificaciones originales y etiquetadas así.

Conocimientos esenciales para la unidad 3.1 (No hay hoja de fórmulas en 9260 — la lista de memorización es la especificación misma):

Ordenar enteros positivos y negativos, decimales y fracciones en la recta numérica con $=$, $\ne$, $<$, $>$ — convertir a una forma común primero al comparar ($\tfrac35 = 0.6$). Las cuatro operaciones con métodos formales de escritura cubren enteros, decimales, simples fracciones propias e impropias, y números mixtos: $2\tfrac13 + 1\tfrac14 = \tfrac{28}{12} + \tfrac{15}{12} = \tfrac{43}{12} = 3\tfrac7{12}$ Operaciones inversas cancelan y simplifican: la multiplicación deshace la división, la resta deshace la suma — usar la cancelación temprana ($\tfrac{15}{28} \times \tfrac{7}{9} = \tfrac{15}{4} \times \tfrac{1}{9} = \tfrac{5}{12}$ después de cancelar el 7 y el 3).

Par, impar, primo, factor, múltiplo, factor común, múltiplo común — con los máximo divisor común y mínimo común múltiplo hallados de factorizaciones primas. La ampliación escribe cada factor en forma de índice: $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$ y $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$, por lo que el MCD es $2^2 \times 3 \times 7 = 84$ (la respuesta del espécimen 1E) y el mcm es $2^3 \times 3^2 \times 7^2 = 3528$.

Potencias de enteros positivos con raíces cuadradas y cúbicas ($\sqrt{144} = 12$, $\sqrt[3]{125} = 5$); las leyes de los índices multiplican y dividen sumando y restando índices. La ampliación introduce potencias fraccionarias ($27^{1/3} = 3$, $8^{2/3} = 4$: raíz cúbica luego raíz cuadrada) y cálculo exacto con radicales — simplifiquen extrayendo cuadrados y racionalicen denominadores con conjugados:

La respuesta en radicales 1E del ejemplar $4 + 4\sqrt2$ proviene de este mismo procedimiento (citación a nivel de familia).

Ejemplo resuelto: potencia fraccionaria negativa. Evaluar $\left(\tfrac{16}{81}\right)^{-3/4}$. Abordar las tres partes de la potencia una a la vez. El signo menos invierte la fracción; el denominador $4$ toma raíz cuarta; el numerador $3$ se eleva al cubo:

Raíz primero, luego potencia: $\sqrt[4]{81} = 3$ es sencillo, mientras que $81^3$ no. Una potencia negativa nunca hace que la respuesta sea negativa.

La forma estándar $A \times 10^n$ con $1 \le A < 10$ cubre mediciones muy grandes y muy pequeñas; la tecla $\times 10^x$ de la calculadora mantiene la aritmética exacta. Utilice la calculadora "de manera efectiva y eficiente": conozca las funciones trigonométricas y de raíz cuadrada, mantenga toda la precisión durante el desarrollo y redondee solo al final.

Ejemplo resuelto: notación científica sin calculadora. Realice $(6 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-2})$. Multiplique los números y sume los exponentes: $24 \times 10^{3}$. Eso no es notación científica, porque $24 \ge 10$, así que Escribe $24 = 2.4 \times 10^1$ y la respuesta es $2.4 \times 10^4$.

Conjuntos: el lenguaje y la notación — $n(A)$ para la cuenta, $A'$ el complemento, $A \cup B$ la unión, $A \cap B$ la intersección — con diagramas de Venn para organizar las cuentas (el mismo conjunto de herramientas que la unidad de probabilidad).

Redondear a un grado adecuado de precisión — decimales y cifras significativas — y sepa que cada valor redondeado conlleva un intervalo: a la unidad más cercana $u$, el valor se encuentra dentro de $\tfrac u2$ a ambos lados. La adición de Extensión CALCULA con límites superior e inferior — el límite superior y el límite inferior: elija el extremo que requiera la pregunta.

Ejemplo resuelto: familia modelo de 2, adaptado. Un suelo de 96 m² se mide hasta 2 c.s.; una ocupación segura necesita 5.1 m² por persona hasta 1 d.p. El mayor número de personas que pueden tener GARANTIZADO espacio: divide el área mínima del suelo por el espacio máximo por persona — LIMITE INFERIOR (LB) $= 95.5$, LÍMITE SUPERIOR (UB) por persona $= 5.15$, así que $\tfrac{95.5}{5.15} = 18.5\ldots$; redondea Hacia ABAJO hacia 18, porque 19 personas podrían necesitar $19 \times 5.15 = 97.85$ m², más de lo que puede ser el suelo. (Los propios números del modelo dan $19.8\ldots$, también redondeados hacia abajo, hasta 19.) Indica qué límite necesita cada número ANTES de dividir.

Fracciones equivalentes se simplifican; fracciones, decimales y porcentajes actúan como OPERADORES: $35\%$ de 240 es $0.35 \times 240 = 84$; $\tfrac35$ de una cantidad divide entre 5 y multiplica por 3. Expresa una cantidad como fracción o porcentaje de otra: 7 como porcentaje de 28 es $\tfrac{7}{28} \times 100 = 25\%$. La ampliación sobre la adición convierte entre fracciones y decimales periódicos en ambas direcciones — $0.\overline{45} = \tfrac{45}{99} = \tfrac5{11}$ mediante el método algebraico de desplazamiento y resta (línea de especificación, no muestreada por los espécimens).

Ejemplo resuelto: decimal periódico con retraso. Escribe $0.2\overline{7}$ (que es $0.2777\ldots$) como fracción en su forma más simple. Sea $x = 0.2\overline{7}$. Mueve el punto hasta que empiece la parte repetitiva, y luego un ciclo más:

Resta las dos líneas cuyas partes decimales coincidan exactamente ($100x$ y $10x$), no $x$ mismo, cuya parte decimal comienza con el 2.

El cambio porcentual usa multiplicadores: aumentar en $12\%$ es $\times 1.12$; disminuir en $17\%$ es $\times 0.83$. Las ampliaciones cubren problemas de porcentaje inverso (porcentajes) y la fórmula de interés compuesto $A = P\left(1 + \tfrac{r}{100}\right)^n$: £2000 a 3% durante 4 años da $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; inverso: un precio de £92 tras un aumento de 15% significa un original de $92 \div 1.15 = £80$ (líneas de especificación, no muestreadas por los espécimens).

Ejemplo resuelto: porcentaje inverso. En una liquidación, un abrigo cuesta £68 después de una $15\%$ reducción. Encuentra el precio original. El precio de oferta es $85\%$ del precio original, por lo tanto, el original es $\times\, 0.85 = 68$ y el precio original es $68 \div 0.85 = £80$. El error habitual es sumar $15\%$ de £68 ($68 \times 1.15 = £78.20$): el $15\%$ se aplicó al precio ORIGINAL, no al precio de oferta.

La notación de razón se simplifica dividiendo y se vincula con las fracciones (repartir £350 en $2:5$: partes de $\tfrac27$ y $\tfrac57$ — £100 y £250); aplicar proporción a problemas (recetas, mapas, mezclas) y usar tasas comunes, incluidas las de pago por hora (£9.20 por hora para 7.5 horas = £69) y comparaciones de mejor compra (precio unitario — líneas de especificación, no muestreadas). Proporcionalidad directa escala ambas cantidades ($y = kx$); proporcionalidad inversa las escala en sentido opuesto ($y = \tfrac kx$).

Ejemplo resuelto: una razón a partir de una diferencia. Amir y Bea comparten dinero en la razón $3 : 5$. Bea recibe £24 más que Amir. La diferencia es $5 - 3 = 2$ partes, por lo que 2 partes equivalen a £24 y 1 parte es £12. Amir recibe $3 \times 12 = £36$ y Bea recibe $5 \times 12 = £60$. Verificación: $60 - 36 = 24$. ✓

Ejemplo resuelto: proporcionalidad inversa al cuadrado. $y$ es inversamente proporcional a $x^2$, y vale $y = 5$ cuando $x = 2$. Encuentra $y$ cuando $x = 4$. Escribe $y = \dfrac{k}{x^2}$; luego sustituye para hallar $5 = \dfrac{k}{4}$, por lo que $k = 20$. Cuando $x = 4$, entonces $y = \dfrac{20}{16} = 1.25$. Duplicar $x$ divide $y$ entre $2^2 = 4$, una comprobación rápida.

La adición final de la Extensión modela el crecimiento y decaimiento exponencial: $y = a b^t$ con $b > 1$ creciendo y $0 < b < 1$ decayendo. El espécimen 2E se ajusta a un modelo de decaimiento a partir de datos — los valores sucesivos $240, 192, 153.6$ tienen razón $0.8$, por lo que $y = 240 \times 0.8^t$ (the specimen's fitted $a$-familia) — y SE RESUELVE con él: £12000 perdiendo 20% por año, $V = 12000 \times 0.8^t$, cae por primera vez por debajo de £2500 cuando $0.8^t < 0.2083$, es decir, $t > \ln 0.2083/\ln 0.8 \approx 7.0$: durante el año 8 (la familia de respuestas del espécimen "cuántos años"). El crecimiento funciona igual: £1200 al 7% supera £2000 después de $\ln(5/3)/\ln 1.07 \approx 7.6$, es decir, tras 8 años completos.

• Ordenar enteros, decimales y fracciones con $=$, $\ne$, $<$, $>$ en la recta numérica (N1).
• Cuatro operaciones con métodos formales en enteros, decimales, fracciones y números mixtos; cancelación de operación inversa (N2, N3).
• Vocabulario de par/impar/primo/factores/múltiplos; MCD y MCM a partir de factorizaciones primas en forma de índice (N4, Extensión; MCD del espécimen 1E 84).
• Potencias y raíces enteras; leyes de exponentes; potencias fraccionarias; aritmética exacta de radicales, incluida la racionalización (N5–N7, Extensión).
• Forma estándar; uso efectivo de la calculadora (N8, N10).
• Conjuntos: $n(A)$, $A'$, $\cup$, $\cap$ con diagramas de Venn (N9).
• Redondeo a precisión adecuada; cálculos de límites superior/inferior eligiendo los extremos correctos (N11, Extensión; 2E ejemplar 19).
• Fracciones equivalentes; FDP como operadores; fracción/porcentaje de; conversiones a decimales periódicos (N12–N14, Extensión).
• Cambio porcentual con multiplicadores; porcentaje inverso; fórmula de interés compuesto (N15, Extensión).
• Notación de proporción y reparto; problemas de proporción; tarifas por hora y precios unitarios (N16–N19).
• Proporcionalidad directa e inversa; modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial ajustados y resueltos (N20, Extensión; familia de ejemplares 2E).

Notas sobre límites: NO se proporciona hoja de fórmulas en 9260 — la lista de recuperación arriba es examinable como memoria. Las líneas marcadas "no muestreadas" (potencias fraccionarias, decimales periódicos, porcentaje inverso, tarifas por hora y mejores opciones de compra) se enseñan desde el texto del programa como originales; el par de ejemplares es solo para nivel Extensión, por lo que la demanda del nivel Core (papeles 1–2 Core, 1 h 30, 80 puntos) no tiene evidencia local y se ceñe solo para enseñanza basada en texto de especificación. Los ejemplos resueltos están adaptados del par de muestra 2016 o son originales.