Lógica booleana

La lógica booleana opera con valores que son verdadero o falso. En electrónica se representan como 1 (verdadero) y 0 (falso). Una puerta lógica recibe una o más de estas entradas y produce una salida siguiendo una regla fija.

Una tabla de verdad enumera cada conjunto posible de entradas y la salida correspondiente para cada uno. Se construye escribiendo todas las combinaciones posibles de las entradas.

Debes conocer seis puertas. NOT tiene una entrada; todas las demás tienen dos entradas (A y B).

Puerta NOT

La puerta NOT invierte la entrada. La salida es 1 cuando la entrada es 0.

Puerta AND

La puerta AND da como salida 1 solo cuando ambas entradas son 1.

Puerta OR

La puerta OR da como salida 1 cuando al menos una entrada es 1.

Puerta NAND

La puerta NAND es AND seguida de NOT. La salida es el opuesto a la de AND.

Puerta NOR

La puerta NOR es OR seguida de NOT. La salida es el opuesto a la de OR.

Puerta XOR

La puerta XOR (OR exclusivo) da como salida 1 cuando las entradas son diferentes.

Una expresión lógica representa un circuito usando letras y nombres de puertas. La forma habitual de escribir las puertas:

Por ejemplo, la expresión (A AND B) OR (NOT C) significa: haz A AND B, haz NOT C, luego haz OR de los dos resultados juntos.

Un circuito lógico conecta varias puertas para realizar una tarea. La salida de una puerta puede convertirse en la entrada de otra. En IGCSE, un circuito tiene hasta tres entradas y una salida.

Debes ser capaz de moverte entre cuatro formas:

• una enunciado del problema (una descripción en palabras),
• a logic expression,
• a logic circuit,
• a truth table.

De un enunciado de problema a un circuito

Lee la afirmación y extrae las condiciones y las palabras lógicas (and, or, not). Por ejemplo:

Una alarma (X) suena cuando la puerta está abierta (A) Y el sistema está encendido (B).

Esto es X = A AND B, por lo que se dibuja una puerta AND con entradas A y B.

Algunas palabras indican las otras puertas:

Por ejemplo, «la luz de un pasillo (X) está encendida cuando exactamente uno de los dos interruptores (A, B) está hacia arriba» es X = A XOR B; «una luz de advertencia (X) está encendida cuando no se presiona ni el freno (A) ni el embrague (B)» es X = A NOR B.

Completar una tabla de verdad a partir de un circuito o expresión

To fill in a truth table:

1. Escribe todas las combinaciones de entradas. Para tres entradas hay 8 filas (de 000 a 111).
2. Calcula la salida de cada puerta en orden, una columna a la vez.
3. The last column is the final output.

Añadir una columna intermedia de «cálculo» para cada puerta facilita completar la salida final. Dibuja siempre el circuito exactamente como indica el enunciado, sin simplificarlo.

Ejemplo resuelto. Completa la tabla de verdad para X = (A AND B) OR (NOT C) para la fila A = 1, B = 0, C = 0. Trabaja hacia afuera desde los paréntesis, una puerta a la vez. Primero A AND B = 1 AND 0 = 0, porque AND necesita que ambas entradas sean 1. Luego NOT C = NOT 0 = 1. Finalmente, realiza la operación OR con los dos resultados: 0 OR 1 = 1. Así que X = 1. Asigna a cada puerta intermedia su propia columna en lugar de intentar hacer toda la expresión en un solo paso: con tres entradas hay $2^3 = 8$ filas, y esas columnas intermedias son donde se otorgan los puntos por el método incluso si la respuesta final falla.

Ejemplo resuelto (las cuatro formas). Un ventilador de invernadero (X) se enciende si la temperatura es alta (T) y la ventana no está abierta (W), o si la humedad es alta (H).

Paso 1: expresión. “y la ventana no está abierta” es T AND NOT W; “o” une H: X = (T AND NOT W) OR H.

Paso 2: circuito. W pasa primero por una puerta NOT; su salida y T entran en una puerta AND; la salida de AND y H entran en una puerta OR.

Paso 3: tabla de verdad. Ocho filas, con una columna de cálculo para cada puerta:

Paso 4: verificar con las palabras. Cuando H = 1, el ventilador está encendido (filas 2, 4, 6, 8); de lo contrario, solo está encendido para T = 1 y W = 0 (fila 5). Cinco filas dan X = 1.

En sentido inverso, de un circuito a una expresión, comienza en las entradas y escribe la salida de cada puerta en su cable, luego únelos en la última puerta. Usa paréntesis alrededor de la salida de cada puerta para que el orden sea claro.

Ejemplo resuelto (del circuito a la expresión). En un circuito, A y B entran en una puerta NAND; B y C entran en una puerta XOR; las salidas de estas dos puertas entran en una puerta AND, cuya salida es X. Escribe la expresión. Etiqueta cada cable a medida que avanzas: la salida de NAND es (A NAND B), la salida de XOR es (B XOR C), por lo tanto X = (A NAND B) AND (B XOR C). Para la fila A = 1, B = 1, C = 0: A NAND B = 0 (ambas entradas son 1), por lo que X = 0 sea cual sea el resultado de XOR.

De una tabla de verdad a una expresión o circuito

Observa solo las filas donde la salida es 1. Para cada una de esas filas, escribe las entradas unidas mediante AND y coloca NOT delante de cualquier entrada que sea 0. Después une los términos de las filas con OR.

Ejemplo resuelto. Escribe una expresión lógica para esta tabla de verdad y describe el circuito.

X = 1 en dos filas. Fila 0 1 1: A es 0, por lo que es (NOT A AND B) AND C. Fila 1 1 0: C es 0, por lo que es (A AND B) AND NOT C. Únelas con OR:

X = ((NOT A AND B) AND C) OR ((A AND B) AND NOT C)

El circuito sigue la expresión: dos puertas NOT (para A y para C), cuatro puertas AND de dos entradas (cada término de fila necesita dos, porque las puertas tienen como máximo dos entradas) y una puerta OR para combinar los dos términos. Comprueba una fila: para 0 1 1, el primer término es (1 AND 1) AND 1 = 1, por lo que X = 1, como en la tabla.

Una expresión creada de esta manera no siempre es la más corta, pero siempre es correcta y el examen no te pide que la simplifiques.

• Aprende las seis puertas y sus tablas de verdad: NOT, AND, OR, NAND (NOT AND), NOR (NOT OR), XOR (salida 1 cuando las entradas son diferentes).
• Construye una tabla de verdad con todas las filas de entrada (2 entradas → 4 filas, 3 entradas → 8), contando en binario, y añade una columna de trabajo para cada puerta.
• Convierte una declaración de problema en una expresión lógica seleccionando las palabras AND / OR / NOT, luego dibújala exactamente como está escrita — no la simplifiques.
• NAND y NOR dan la salida opuesta a AND y OR; un pequeño círculo en la salida de una puerta indica que el resultado está invertido.
• A partir de una tabla de verdad, toma cada fila con salida 1, une sus entradas con AND (con NOT para cada 0) y después une los términos de las filas con OR.
• «Exactamente uno» o «pero no ambos» significa XOR; «ni … ni» significa NOR.